Produit de facteurs nuls

En mathématiques, un produit de facteurs nuls est un cas particulier d'équation.

Description

C'est une équation dont l'un des deux membres vaut zéro (on dit qu'il est nul), et dont l'autre est sous forme d'un produit de termes. Le mot « facteur » signifie « objet multiplié ». Un produit de facteurs nuls est donc la multiplication de plusieurs expressions (comme x, (2 - x), etc.) dont le résultat est zéro.

Par exemple :

Utilité

Lorsqu'on résout une équation, c'est-à-dire quand on cherche les valeurs pour lesquelles elle est vraie, il est « agréable » de se ramener à un produit de facteurs nuls car, souvent, cela simplifie beaucoup les calculs. En fait, c'est comme si l'on « découpait » une équation compliquée en parties bien plus simples.

Par exemple, il peut sembler difficile de résoudre une équation comme . Pourtant, il suffit de trouver que pour obtenir un produit de facteurs nuls : . Comment faire ensuite ?

Il faut penser que, pour qu'une multiplication donne zéro, l'un des termes multipliés vaut forcément déjà zéro ! En effet, avec la plupart des objets mathématiques (comme les nombres), on ne peut obtenir zéro qu'en multipliant quelque chose par zéro. Il est impossible de multiplier n'importe quels nombres (non nuls) entre eux pour obtenir zéro comme résultat !

Par conséquent, dans l'équation  :


Si l'on reprend notre produit de facteurs nuls précédent, implique que :

Les solutions de l'équation sont donc et , ce que l'on note . Cela se lit « x appartient à l'ensemble { -1 ; 2 } », ce qui signifie tout simplement que x peut valoir -1 ou 2.

De cette manière, on a trouvé que avait pour ensemble de solutions { -1 ; 2 }. Sans utiliser le produit de facteurs nuls, il aurait fallu employer une technique plus spécialisée : le calcul des racines d'un polynôme du second degré… On voit que notre méthode est bien plus simple ! Néanmoins, il faut réussir à mettre l'équation sous forme de produit de facteurs nuls, ce qui n'est pas toujours facile, ni même possible. Pour y arriver, il faut notamment bien connaître les identités remarquables.

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