Puissance (mathématiques)

Pour l’article homonyme, voir : Puissance (physique).

La puissance d'un nombre est le résultat de la multiplication de ce nombre par lui-même un certain nombre de fois selon l'exposant.

Exemples :

Il ne faut pas confondre avec la multiplication :

Lecture d'une puissance

Cas général : an se lit « a exposant n » ou « a à la puissance n ». Les deux termes sont équivalents. Par exemple, 68 se lit « six exposant huit » ou « six à la puissance huit ». Dans l'autre sens, on dit également que 68 est une puissance de 6.

Les puissances de 10

Les puissances de 10 sont des cas particuliers. Ils permettent d'écrire des grands nombres.

102= 10 × 10 = 100 (deux zéros après 1)
103= 10 × 10 × 10 = 1 000 (trois zéros)
104= 10 × 10 × 10 × 10 = 10 000 (quatre zéros)

On remarque que le nombre de zéros présents dans la puissance correspond à l'exposant. Ceci est bien pratique pour représenter un nombre. Ainsi, un million (1 000 000) peut s'écrire 106.

Ceci ne marche que pour les puissances de 10.

On peut s'en servir pour écrire des nombres qui ne sont pas des multiples de 10 comme ceci :

5 000 = 5 × 1 000 = 5 × 103.

Certaines calculatrices affichent ce chiffre sous la forme « 5E+3 » ou « 5e+3 », c'est une abréviation de 5 fois 10 exposant 3, qui vaut 5 000.

C'est à ne pas confondre avec 53, que les calculatrices affichent 5^3 et qui vaut 5 × 5 × 5 = 125.

Voir aussi Lecture des grands nombres.

Les exposants négatifs

Les exposants négatifs permettent eux d'écrire des nombres très petits (entre 0 et 1), notamment lorsqu'il s'agit de puissances de 10.

On écrit :

0,1 = 10-1
0,01 = 10-2
0,001 = 10-3 et ainsi de suite.

Écriture scientifique

On appelle notation scientifique, la notation de la forme a × 10na est un nombre décimal avec un seul chiffre différent de zéro avant la virgule.

Exemples :

Ainsi, le nombre 79 800 peut s’écrire :

Pour en savoir plus, lire l’article : Notation scientifique.

Opérations avec les puissances

Comment manipuler des nombres élevés à une certaine puissance ? Plus concrètement, combien vaut, par exemple, 136 × 137 ?

Il existe une règle qui permet de trouver la réponse : il faut transformer la multiplication en addition (et donc la division en soustraction) ! Ainsi, si on note a, b et z trois nombres :

  1. za × zb = za + b : la multiplication (entre les deux z) devient une addition (entre a et b).
  2. = za b : la division (entre les deux z) devient une soustraction (entre a et b).

Ici, la base (z) est la même pour les deux nombres que l’on cherche à « réunir ». On ne peut pas manipuler aussi facilement des nombres dont c’est seulement la puissance qui est identique : cela ne marche que pour ceux dont la base est identique ! Ainsi, on peut appliquer notre règle de calcul à 136 × 137 (même base : 13), mais pas à 136 × 116 (même puissance : 6, mais pas la même base : 13 ≠ 11) !

Voir aussi

Portail des mathématiques   Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.
This article is issued from Vikidia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.