Radian

La longueur de l'arc en rouge est de x unités

Le radian est une unité de mesure pour mesurer les angles, comme le degré, la minute d'arc, le grade ou le millième.

Un angle d'1 radian est un angle qui délimite un arc de cercle d'une longueur égale au rayon du cercle.

Dans un cercle de rayon R, un arc de longueur s est délimité par un secteur angulaire de mesure s/R radian. Il est important de remarquer que cette grandeur n'a pas de grandeur : c'est le rapport de deux longueurs. Pour calculer ce rapport, les longueurs doivent être exprimées dans la même unité de longueur ; mais changer d'unité de longueur ne modifie pas le rapport.

Cette unité de mesure a pour symbole rad

Conversion entre radians et degrés

Un Radian est approximativement égal à 57,2°.

Un angle plein (de 360 °) Correspond à un cercle entier. La circonférence de ce cercle est de 2 x π x r (le rayon) et de même, cet angle vaut 2π radians.

Donnons dans une table, les valeurs en degré et en radian des angles les plus importants :

nom de l'angle valeur en radian valeur en degré valeur en tour
angle nul0 rad0
milliradian1 mrad0°3′26″15‴
π/4 rad45°1/8
radian1 rad57°17′44″48‴1/2π
angle droitπ/2 rad90°1/4
3π/4 rad135°3/8
angle platπ rad180°1/2
5π/4 rad225°5/8
3π/2 rad270°3/4
7π/4 rad315°7/8
angle plein2π rad360°1

Pour passer des radians aux degrés et vice versa on effectue une règle de trois, ou on utilise la formule suivante :

Propriétés

Considérons un cercle de rayon R.

Connaissant la longueur L d'un arc de ce cercle, la mesure de l'angle en radian du secteur angulaire défini par l'arc et le centre du cercle est égale à L/R radians, par définition.

Inversement, à partir de la donnée de la mesure α en radians de l'angle d'un arc du cercle, la longueur L de l'arc est égale à Rα.

Utilité des radians

Historiquement, les degrés furent définis bien avant les radians et on peut se demander pourquoi avoir introduit une nouvelle unité de mesure d'angle. Les radians furent introduits à la fin du XIXe siècle par James Thomson.

La principale raison est qu'un certain nombre de formules deviennent plus simples lorsque les mesures d'angles sont exprimées en radians. Par exemple la formule permettant d'obtenir la longueur d'un arc à partir de son angle en radians s'écrit L=Rα et n'a pas de facteur 180/π.

De plus, en mathématiques, les fonctions trigonométriques comme le sinus ou le cosinus sont actuellement toutes définies à partir d'angles exprimés en radians. Par exemple, pour un angle dont la mesure est petite, on peut montrer remplacer sin (h) par h dans les formules pour obtenir de bonnes approximations.

Alors pourquoi ne pas abandonner les degrés ? Parce que la définition d'un degré est facile à comprendre et beaucoup d'instruments de mesure d'angle sont encore en degrés, comme presque tous les rapporteurs. Cependant, en physique, les radians sont couramment utilisés. La vitesse angulaire s'exprime en rad/s ou en tours par minutes.

Portail des mathématiques   Les nombres, la géométrie et les grands mathématiciens.
This article is issued from Vikidia. The text is licensed under Creative Commons - Attribution - Sharealike. Additional terms may apply for the media files.