Recherche en mathématiques

Les mathématiques ne sont pas seulement une liste de résultats transmis et enseignés à l'école. Il existe une recherche en mathématiques de plus en plus forte. Elle répond en partie aux besoins croissants des autres sciences, mais aussi à une volonté et une dynamique interne. Comment cette science particulière s'organise-t-elle ? Qui en sont les acteurs ?

Les mathématiciens, acteurs de la recherche

Le mathématicien est une personne qui consacre une partie de sa vie à la recherche en mathématiques. Cette définition est sujette à discussions : certains professionnels appliquent les mathématiques sans s'impliquer eux-mêmes dans la recherche. Il n'existe aucune statistique exacte sur le nombre de mathématiciens dans le monde. On estime aujourd'hui qu'il y a environ quelques centaines de milliers de mathématiciens. Le nombre a été multiplié environ par cent en un siècle.

La plupart des mathématiciens sont aujourd'hui employés dans des universités ou dans des centres de recherche, et parfois employés dans des entreprises privées.

Les grandes puissances mathématiques actuelles sont les États-Unis et le Canada en Amérique du Nord, la France et l'Allemagne dans l'Union Européenne (mais pas seulement), la Russie, l'Inde, la Chine et le Japon en Asie. Il n'est pas étonnant que les grandes puissances scientifiques soient aussi de grandes puissances économiques. En effet, la recherche demande aujourd'hui un fort financement des États.

Problèmes ouverts

En mathématiques, il existe énormément de questions dont les réponses sont inconnues. Aucun mathématicien ne connaît toutes les questions posées (et encore moins toutes les connaissances mathématiques écrites). Une question sans réponse est appelée question ouverte. Parfois un groupe de mathématiciens peut avancer une réponse, mais ils n'ont aucune démonstration. Ils justifient leurs affirmations par des exemples, des cas particuliers. Leurs réponses deviennent alors des conjectures. Ce sont des moteurs de la recherche mathématique.

Certaines questions sont récentes. Elles ont été posées car beaucoup de mathématiciens s'intéressent actuellement aux objets concernés. Elles peuvent être résolues assez rapidement, par exemple en une décennie. Parfois, c'est plus difficile et la résolution demande d'emprunter le chemin des écoliers. Certains problèmes ont survécu à des générations de mathématiciens.

Organisation de la recherche

La recherche en mathématiques n'est pas la preuve mécanique de théorèmes. Cette science se développe par une réflexion sur elle-même, des apports extérieurs, et des convergences.

Si une nouvelle affirmation est énoncée, les mathématiciens commencent par regarder des exemples. Certains exemples permettent de tester facilement des résultats, avant de s'attaquer à une éventuelle preuve. Si une affirmation ne s'applique pas à certains exemples, les mathématiciens peuvent vouloir modifier les hypothèses. Cette « confrontation aux exemples » intervient face à de nouvelles conjectures.

Parfois, des domaines éloignés sont réétudiés et rapprochés. Une analogie peut par exemple permettre de faire avancer la recherche : des méthodes utilisées dans un domaine sont transférées dans un autre pour résoudre des problèmes ouverts. Ce transfert peut faire naître une nouvelle approche de concepts déjà connus, et relancer le débat autour de problèmes qui avaient été délaissés. C'est souvent à la frontière de plusieurs domaines des mathématiques que les plus belles avancées ont été réalisées.

Enfin, la recherche mathématique se nourrit de ses applications. Les mathématiques ne se développent pas pour être appliquées. Mais parfois, certaines autres sciences ont montré une insuffisance des connaissances mathématiques. Cette insuffisance a conduit les mathématiciens à s'interroger et orienter la recherche sur de nouvelles thématiques. La physique mathématique est un domaine à la frontière des mathématiques et de la biologie ; la bioinformatique à la frontière de la biologie et de l'informatique.

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