Équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants

En mathématiques, l’équation caractéristique d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants (ou équation auxiliaire de celle-ci[1]) est une équation polynomiale dont dépend la solution[2] de l'équation différentielle, linéaire, homogène, et à coefficients constants associée[1].

Une telle équation différentielle d'ordre n, avec comme variable dépendante et comme constantes,

aura une équation caractéristique de degré n de la forme

dont les racines permettront de former la solution générale de l'équation différentielle[1],[3],[4].

Leonhard Euler a introduit l'équation caractéristique pour intégrer les équations différentielles linéaires à coefficients constants, étude prolongée par Augustin-Louis Cauchy et Gaspard Monge[2],[4].

Principe

On considère l'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants ,

on peut voir que si , chaque terme sera un multiple de par une constante. Cela résulte du fait que la dérivée de la fonction exponentielle est un multiple d'elle-même. Par conséquent, , et sont toutes multiples de . On peut en déduire que certaines valeurs de , permettront à des multiples de d'avoir une somme égale à zéro et de résoudre ainsi l'équation différentielle homogène[3]. Pour trouver les valeurs de , on peut remplacer et ses dérivées par et ses dérivées dans l'équation différentielle pour obtenir :

Puisque ne peut jamais être nul, on peut simplifier l'équation pour obtenir l'équation caractéristique

En trouvant les racines de cette équation caractéristique, on pourra trouver la solution générale de l'équation différentielle[1],[4].

Formation de la solution générale

Résoudre l'équation caractéristique pour trouver ses racines, , permet de trouver la solution générale de l'équation différentielle. Les racines peuvent être réelles et/ou complexes, simples et/ou multiples. Si une équation caractéristique a pour solutions des racines réelles simples, racines réelles multiples et/ou racines complexes, correspondant respectivement aux solutions générales , , et , alors la solution générale de l'équation différentielle est

Exemple

L'équation différentielle linéaire homogène à coefficients constants

a pour équation caractéristique

En factorisant l'équation caractéristique, on obtient :

On peut voir que les solutions sont la racine simple réelle et les racines doubles complexes . Cela correspond à la solution générale à valeurs réelles

sont des constantes réelles arbitraires.

Racines réelles simples

Le principe de superposition des équations différentielles linéaires homogènes à coefficients constants dit que si sont des solutions linéairement indépendantes d'une équation différentielle particulière, alors[1] est aussi une solution pour toutes les valeurs . Par conséquent, si l'équation caractéristique a pour solution les racines réelles distinctes , alors la solution générale sera de la forme

Racines réelles multiples

Si l'équation caractéristique a une racine qui est répétée fois, alors il est clair que , au moins, est solution[1]. Mais cela ne suffit pas : à cette racine d'ordre doivent correspondre solutions indépendantes. Puisque est racine multiple d'ordre , l'équation différentielle peut être factorisée en[1] :

Le fait que soit une solution permet de supposer que la solution générale peut être de la forme est une fonction à déterminer.

En remplaçant par on obtient :

En appliquant ce fait fois, il s'ensuit que

L'équation différentielle sur équivaut donc à l'équation différentielle suivante sur  :

En divisant par , elle devient :

Par conséquent, est solution si et seulement si[4] c'est un polynôme de degré inférieur ou égal à , soit

Puisque , la partie de la solution générale correspondant à la racine est

Racines complexes

Dans le cas d'une équation différentielle linéaire homogène d'ordre 2 à coefficients réels constants, si l'équation caractéristique a des racines complexes de la forme et , alors la solution générale à valeurs complexes est

ou, ce qui est équivalent :

.

L'intérêt de la seconde expression est de fournir les fonctions à valeurs réelles solutions de l'équation différentielle, pour les valeurs réelles des constantes .

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Characteristic equation (calculus) » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) C. Henry Edwards, David E. Penney et David Calvis, Differential Equations: Computing and Modeling, Upper Saddle River (New Jersey), Pearson Education (ISBN 978-0-13-600438-7), « 3 », p. 156–170
  2. (en) David Eugene Smith, « History of Modern Mathematics: Differential Equations », Université de Floride du Sud
  3. (en) Herman Chu, Gaurav Shah et Tom Macall, « Linear Homogeneous Ordinary Differential Equations with Constant Coefficients », eFunda
  4. (en) Abraham Cohen, An Elementary Treatise on Differential Equations, D. C. Heath and Company (en),
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