Équations de Hamilton-Jacobi

En mécanique hamiltonienne, les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations associées à une transformation du hamiltonien dans l'espace des phases, et qui permettent de simplifier la résolution des équations du mouvement.

Transformations canoniques

Une transformation canonique est une transformation de l'espace des phases qui conserve les équations canoniques : .

(On note .)

On peut montrer qu'une transformation est canonique si et seulement si elle préserve les crochets de Poisson fondamentaux :

Fonctions génératrices

L'action peut s'écrire en fonction des variables de l'espace des phases :

Or les équations canoniques vérifiées par impliquent que vérifie les équations d'Euler-Lagrange :

On a donc stationnarité de l'action si et seulement si vérifie les équations canoniques, et de même pour . On en déduit que si H et K vérifient leurs équations canoniques, on a stationnarité des actions correspondantes, soit :

d'où la condition dite d'invariance :

Une telle fonction F est appelée fonction génératrice de la transformation .

Fonction principale de Hamilton, équation de Hamilton-Jacobi

On note N le nombre de degrés de liberté du système, représentent 4N variables, qui sont reliées entre elles par les 2N relations de la transformation . On a donc 2N variables indépendantes, et donc plusieurs choix pour les variables de la fonction génératrice. Si on choisit d'utiliser les variables , on a une fonction génératrice que l'on appelle fonction principale de Hamilton. Pour avoir effectivement une fonction de , il faut appliquer une transformation de Legendre à  : .

On a alors

et la condition d'invariance devient

On a choisi comme variables indépendantes, on peut donc identifier et l'on obtient :

;

;

.

Les deux premières équations permettent de déterminer la transformation à partir de la donnée de la fonction , et en combinant la première et la dernière équation, on a l'équation de Hamilton-Jacobi :

.

Application

Le but d'une telle transformation est de simplifier la résolution des équations du mouvement. Par exemple, en imposant , on a simplement et , soit et constants. Il reste alors à déterminer pour obtenir la solution , or la transformation est entièrement déterminée par la donnée de la fonction génératrice, qui est solution de l'équation aux dérivées partielles

Remarque
Dans ce cas, la condition d'invariance devient . La fonction génératrice est alors simplement l'action du système.

Cette équation n'est pas a priori plus simple à résoudre que les équations de départ (en particulier s'il s'agit d'un Hamiltonien classique , on a alors des termes non linéaires). Cependant, si l'Hamiltonien ne dépend pas explicitement du temps, il est conservé (d'après le théorème de Noether), on a donc directement :

d'où

et l'équation à résoudre est simplifiée :

Articles connexes

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