Anneau d'Ore

En théorie des anneaux, un anneau d'Ore est un anneau qui admet un corps de fractions.

Pour un anneau commutatif, cette notion est équivalente à la condition que l'anneau soit sans diviseur de zéro (et donc nul ou intègre). Dans le cas général, cette condition reste nécessaire, mais n'est plus suffisante. Il faut adjoindre une condition supplémentaire, la condition d'Ore, introduite par le mathématicien norvégien Øystein Ore[1] en 1931.

On distingue les anneaux d'Ore à gauche, à droite et bilatères. Les premiers admettent un corps de fractions à gauche, les seconds un corps de fractions à droite, les troisièmes un corps de fractions à gauche et un corps de fractions à droite, qui coïncident. En l'absence de précision supplémentaire, « anneau d'Ore » signifie anneau d'Ore bilatère.

La condition d'Ore

Cas des anneaux

Soit un anneau sans diviseur de zéro. Il s'agit d'un anneau d'Ore à droite s'il satisfait la condition d'Ore à droite:

pour tous

et sont des idéaux principaux à droite de et où désigne l'ensemble des éléments non nuls de . On définit de même un anneau d'Ore à gauche (en considérant l'intersection d'idéaux principaux à gauche), et comme il a été dit plus haut un anneau d'Ore (sans précision) est bilatère, c'est-à-dire qu'il s'agit d'un anneau d'Ore à droite qui est également un anneau d'Ore à gauche.

Un anneau d'Ore permet de construire des fractions de manière cohérente. Une fraction à droite est un élément de la forme . La condition d'Ore à droite permet de réduire un nombre fini de termes de cette forme au même dénominateur à droite. On définit de manière analogue les fractions à gauche, et la condition d'Ore en garantit la cohérence algébrique.

Cas des sous-ensembles multiplicatifs

La construction ci-dessus peut être définie de manière plus générale sur tout sous-ensemble multiplicatif, c'est-à-dire un ensemble tel que pour tous , on a . Soit un anneau et un sous-ensemble multiplicatif de . On dit que est un ensemble de dénominateurs à droite si pour tous on a :

  • Si alors il existe tel que .

On peut alors construire l'anneau des fractions à droite , qui généralise la notion de localisation aux anneaux non commutatifs. Il existe en fait plusieurs manières de construire une telle localisation (monoïdale, géométrique ou rationnelle) selon le choix de .

Si on pose alors S est un ensemble de dénominateurs à droite si et seulement si est un anneau d'Ore à droite.[2]

Généralisation

La condition d'Ore se généralise en théorie des catégories de la manière suivante. On dit qu'une catégorie satisfait la condition d'Ore si pour tout diagramme

d'objets, il existe un objet et deux morphismes tels que le diagramme suivant commute :

La condition d'Ore est une condition plus faible que l'existence de tirés en arrière, de sorte que toute catégorie possédant des tirés en arrière est d'Ore. Si la catégorie duale est d'Ore, alors la catégorie considérée a la propriété d'amalgamation. En général, satisfaire la condition d'Ore est nécessaire, mais n'est pas suffisant pour construire une catégorie des fractions[3].

Propriétés

Modules sur les anneaux d'Ore

La notion d'élément de torsion se définit sans difficulté sur un anneau intègre : soit un anneau intègre et un -module à gauche. Un élément est de torsion s'il existe tel que .

Si est un anneau d'Ore à gauche, l'ensemble des éléments de torsion de est un sous-module de , noté . En désignant par le corps des fractions à gauche de ( est un -module à droite), alors est le noyau de l'application canonique .

Cette application est donc injective si et seulement si est sans torsion, c'est-à-dire . La dimension du -espace vectoriel est appelée le rang de . Si est un anneau d'Ore, alors le -module est plat[4].

D'autre part, si est un anneau d'Ore, un -module de type fini est sans torsion si, et seulement s'il peut être plongé dans un module libre de type fini[5].

Notes et références

Notes

  1. Ore 1931
  2. (en) Tsit Yuen Lam, Lectures on modules and rings, Springer, , 557 p. (ISBN 978-0-387-98428-5, OCLC 38992957, lire en ligne)
  3. (en-GB) Peter Gabriel et Michel Zisman, Calculus of Fractions and Homotopy Theory | SpringerLink, Berlin Heidelberg, Springer-Verlag, , X, 168 p. (ISBN 978-3-642-85846-8, DOI 10.1007/978-3-642-85844-4, lire en ligne), p. Chapitre 1
  4. Cohn 1985
  5. Gentile 1960

Références

  • (en) Paul Moritz Cohn, Free Rings and their Relations (2nd ed.), Londres, Academic Press Press, , 595 p. (ISBN 978-0-12-179152-0, notice BnF no FRBNF37359190)
  • (en) Enzo R. Gentile, « On Rings with One-Sided Field of Quotients », Proc. American Math. Society, vol. 11, no 13, , p. 380-384 (lire en ligne)
  • (en) Øystein Ore, « Linear equations in non-commutative fields », Ann. Math., vol. 32, , p. 463-477


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