Argument d'un nombre complexe

Un argument d’un nombre complexe z non nul est une mesure (en radians) de l’angle :

Pour un article plus général, voir nombre complexe.
Dans le plan complexe, si z est l'affixe du point M, alors un argument de z correspond à une mesure de l'angle .
Représentation des valeurs possibles de l'argument, avec sa branche principale hachurée en rouge.

est l'image de z dans le plan complexe, c'est-à-dire le point d'affixe z.

On a alors :

,

représente le module de .

Souvent on note un argument du nombre complexe z de façon simplifiée par :

ou plus précisément :

.

Rappels :

  • comme en coordonnées polaires et donc :
    • , où est le conjugué de ;
    • si la partie réelle de est strictement positive, .
  • De manière plus générale, l'argument d'un nombre complexe z non nul peut être entièrement déterminé de la façon suivante :
    , si n'est pas un réel négatif, sinon.

Remarque : en anglais, on parle parfois de la phase[1] ou de l'amplitude[2] d'un nombre complexe : .

Propriétés

  • si et sont des complexes non nuls.
  • si est un complexe non nul et un entier relatif.
  • .

En particulier :

  • si est un réel strictement positif et un complexe non nul.
  • si est un réel strictement négatif et un complexe non nul.

Applications à la géométrie

Si A, B, C et D sont quatre points deux à deux distincts du plan complexe d'affixes respectives a, b, c et d, alors :

.

Notes et références

  1. Dictionary of Mathematics (2002). phase.
  2. (en) Konrad Knopp et Frederick Bagemihl, Theory of Functions Parts I and II, Dover Publications, , 150 p. (ISBN 978-0-486-69219-7), p. 3.

Articles connexes

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