Bicommutant

En algèbre, le bicommutant[1] d'un sous-ensemble d'un magma est le commutant du commutant de ce sous-ensemble. Il est aussi appelé double commutant ou second commutant. De même qu'on note le commutant de X par une lettre primée X’, son bicommutant est noté par une lettre doublement primée : X’’.

Propriétés

Les propriétés galoisiennes du commutant entraînent que :

  • le bicommutant est un opérateur de clôture, i.e.
  • , cette dernière égalité (qui entraîne la précédente) venant de
et de .

On a ainsi, par récurrence, les relations suivantes :

pour tout entier n ≥ 1.

Note et référence

  1. N. Bourbaki, Éléments de mathématique, Algèbre, Chapitres 1 à 3, Springer, 2007 (ISBN 978-3-540-33849-9) p. A I.8.

Voir aussi

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