Calcul tensoriel

En physique théorique, des équations différentielles, posées en termes de champs tensoriels, sont une manière très générale pour exprimer les relations à la fois géométriques par nature et liées au calcul différentiel. Pour formuler de telles équations, il faut connaître la dérivée covariante. Cela permet d'exprimer la variation d'un champ tensoriel le long d'un champ vectoriel. La notion d'origine du calcul différentiel absolu, plus tard renommé calcul tensoriel, amena à l'isolation du concept géométrique de connexion.

Développé par Gregorio Ricci-Curbastro et son étudiant Tullio Levi-Civita[1], il a servi au développement mathématique de la relativité générale d'Albert Einstein. Comparativement au calcul vectoriel, il permet de s'affranchir du système de coordonnées au prix d'une complexification des calculs. Le calcul tensoriel trouve des applications dans la déformation élastique, la mécanique des milieux continus, l'électromagnétisme, l'apprentissage profond et la relativité générale (voir Mathématiques de la relativité générale).

Notes et références

  1. Gregorio Ricci et Tullio Levi-Civita, « Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications », Mathematische Annalen, Springer, vol. 54, nos 1–2, , p. 125–201 (DOI 10.1007/BF01454201, lire en ligne)

Bibliographie

  • Yuriy Dimitrienko, Tensor Analysis and Nonlinear Tensor Functions, Kluwer Academic Publishers (Springer), , 662 p. (ISBN 1-4020-1015-X, lire en ligne)
  • Ivan S Sokolnikoff, Tensor Analysis : Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua, John Wiley & Sons Inc; 2nd edition, (ISBN 0-471-81052-5)
  • J.R. Tyldesley, An introduction to Tensor Analysis : For Engineers and Applied Scientists, Longman, (ISBN 0-582-44355-5)
  • D.C. Kay, Tensor Calculus, Schaum’s Outlines, McGraw Hill (USA), (ISBN 0-07-033484-6)
  • P.Grinfeld, Introduction to Tensor Analysis and the Calculus of Moving Surfaces., Springer, (ISBN 978-1-4614-7866-9 et 1-4614-7866-9)
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