Carré parfait

En mathématiques, un carré parfait (un carré s'il n'y a pas ambiguïté) est le carré d'un entier. Les 70 premiers carrés (suite A000290 de l'OEIS) sont :

02 = 052 = 25102 = 100152 = 225202 = 400252 = 625302 = 900352 = 1 225402 = 1 600452 = 2 025502 = 2 500552 = 3 025602 = 3 600652 = 4 225
12 = 162 = 36112 = 121162 = 256212 = 441262 = 676312 = 961362 = 1 296412 = 1 681462 = 2 116512 = 2 601562 = 3 136612 = 3 721662 = 4 356
22 = 472 = 49122 = 144172 = 289222 = 484272 = 729322 = 1 024372 = 1 369422 = 1 764472 = 2 209522 = 2 704572 = 3 249622 = 3 844672 = 4 489
32 = 982 = 64132 = 169182 = 324232 = 529282 = 784332 = 1 089382 = 1 444432 = 1 849482 = 2 304532 = 2 809582 = 3 364632 = 3 969682 = 4 624
42 = 1692 = 81142 = 196192 = 361242 = 576292 = 841342 = 1 156392 = 1 521442 = 1 936492 = 2 401542 = 2 916592 = 3 481642 = 4 096692 = 4 761

Dans notre système de numération habituel, le chiffre des unités d'un carré parfait ne peut être que 0, 1, 4, 5, 6 ou 9. En base douze, il serait nécessairement 0, 1, 4 ou 9.

Propriétés

Résidu quadratique

On dit qu'un entier q est un résidu quadratique modulo un entier m s'il existe un entier n tel que :

.

C'est un concept très utile ; il permet notamment de montrer que certaines équations diophantiennes n'admettent pas de solution. Par exemple, avec k entier, l'équation n'admet pas de solution dans . En effet, les résidus quadratiques modulo 4 étant 0 et 1, un carré parfait ne peut pas posséder un reste égal à 2 dans la division euclidienne par 4.

Divers

On considère a et b des entiers naturels non nuls.

  1. Si a et b sont des carrés parfaits, alors le produit ab est aussi un carré.
  2. Si a2 + b2 = c2c est un entier, alors (a, b, c) forme un triplet pythagoricien. Par exemple, (3, 4, 5) en constitue un.
  3. a est un carré parfait si, et seulement si, tous les exposants dans sa décomposition en produit de facteurs premiers sont pairs.
  4. Si ab est un carré parfait et que a et b sont premiers entre eux, alors a et b sont aussi des carrés parfaits[1] : ne pas oublier la seconde condition car 12×3 = 62 mais 12 n'est pas un carré parfait.
  5. a(a + 1) et a(a + 2) ne sont pas des carrés.
  6. a est un carré parfait si, et seulement si le nombre de ses diviseurs est impair.
  7. Un carré parfait ne peut se terminer que par 0, 1, 4, 5, 6 ou 9 dans le système décimal.
  8. est un carré parfait. En fait, cette somme est égale à .

Nombre carré

Un nombre carré est un nombre polygonal (donc entier strictement positif) qui peut être représenté géométriquement par un carré. Par exemple, 9 est un nombre carré puisqu'il peut être représenté par un carré de 3 × 3 points. Les nombres carrés sont donc les carrés parfaits non nuls, le n-ième étant n2.

Le produit de deux nombres carrés est un nombre carré.

La représentation du premier nombre carré est un point. Celle du n-ième s'obtient en bordant deux côtés consécutifs du carré précédent par 2n – 1 points :

Le n-ième nombre carré est donc la somme des n premiers nombres impairs : ,

Animation de deux vues d'un tétraèdre pour illustrer que la somme des n premiers nombres impairs est n².

ce qui fournit un moyen pratique pour former une table de carrés[2] : on écrit sur une première ligne les nombres entiers successifs dont on veut former les carrés, puis les nombres impairs successifs. Sur une troisième ligne, en commençant par 1, en ajoutant à chaque fois le nombre impair immédiatement à droite et au-dessus, on construit naturellement la suite des carrés parfaits. Cette propriété est aussi utilisée pour une méthode d'extraction de racine carrée et, plus pratiquement encore, pour l'extraction de racine carrée avec un boulier.

La somme du 3e nombre triangulaire et du 4e est le 4e nombre carré.

Le n-ième nombre carré est aussi égal à la somme du n-ième nombre triangulaire et du précédent :

La somme de deux nombres carrés consécutifs est un nombre carré centré.

La somme des n premiers nombres carrés est égale au n-ième nombre pyramidal carré :

Les mathématiciens se sont souvent intéressés à certaines curiosités concernant les nombres carrés. La plus connue, notamment pour sa référence au théorème de Pythagore, est l'égalité 32 + 42 = 52, qui débute l'étude des triplets pythagoriciens. D'après le théorème de Fermat-Wiles, démontré en 1995, il n'y a que les nombres carrés qui peuvent faire une identité comme celle des triplets pythagoriciens. Par exemple, il n'y a aucune solution à a3 + b3 = c3 avec a, b et c entiers non nuls.

Notes et références

  1. « Cours d'arithmétique », sur Animath, p. 56.
  2. Anna et Élie Cartan, Arithmétique : Classes de 4e et de 3e, Paris, Armand Colin, , 5e éd., p. 161, paragraphe no 237.

Voir aussi

Articles connexes

Lien externe

Carré parfait sur recreomath.qc.ca

  • Arithmétique et théorie des nombres
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