Catégorie abélienne

En mathématiques, les catégories abéliennes forment une famille de catégories qui contient celle des groupes abéliens. Leur étude systématique a été instituée par Alexandre Grothendieck pour éclairer les liens qui existent entre différentes théories cohomologiques, comme la cohomologie des faisceaux ou la cohomologie des groupes. Toute catégorie abélienne est additive.

Définition

Une catégorie abélienne est une catégorie dans laquelle on peut additionner les flèches et définir pour toute flèche les notions de noyau, conoyau et image.

Plus précisément, une catégorie abélienne est une catégorie vérifiant les axiomes suivants :

  • pour tous les objets et dans , est muni d'une structure de groupe abélien ;
  • pour tous les objets , et , la composition
est bilinéaire ;
  • toute flèche admet un noyau, un conoyau et une image au sens suivant : soit une flèche,
    • un noyau de f est un objet K de et une flèche telle que et telle que pour tout objet de et toute flèche telle que , alors il existe une unique flèche telle que ; autrement dit le diagramme suivant commute :
    • un conoyau de est un objet de et une flèche telle que et telle que pour tout objet de et toute flèche telle que , alors il existe une unique flèche telle que ,
    • une image de est un objet et une flèche qui soit un noyau de et une flèche qui soit un conoyau de ; de plus on doit avoir la composition égale à .

Si des noyaux existent ils sont tous isomorphes, et de même pour des conoyaux. Ainsi, l'image, si elle existe, est bien définie.

Exemple de catégories abéliennes

Bibliographie

  • Roger Godement, Topologie algébrique et théorie des faisceaux, coll. « Publications de l'institut de mathématique de l'université de Strasbourg » (no 13), Hermann, 1964
  • Alexander Grothendieck, « Sur quelques points d'algèbre homologique », The Tohoku Mathematical Journal, vol. 9, , p. 119–221 (Math Reviews 0102537). Cet article, souvent cité comme l'« article Tohoku (en) » ou simplement « Tohoku »[1], introduit les axiomes des catégories abéliennes.

Article connexe

Théorème de plongement de Mitchell

Références

  1. Neil Schlager et Josh Lauer, Science and Its Times: 1950-present. Volume 7 of Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery,, Gale Group, (ISBN 9780787639396), p. 251.
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