Catégorie des groupes

En mathématiques, la catégorie des groupes est une construction qui rend compte abstraitement des propriétés observées en algèbre dans l'étude des groupes.

Définition

La catégorie des groupes

La catégorie des groupes, notée Grp, est définie de la manière suivante :

C'est donc une sous-catégorie de la catégorie des ensembles.

La 2-catégorie des groupes

En théorie des catégories supérieures (en) il est parfois pratique de voir les groupes comme des groupoïdes possédant un unique objet, les flèches de cet unique objet vers lui-même étant dénotées par les éléments du groupe lui-même. On dispose alors d'une nouvelle définition : la 2-catégorie des groupes Grp est la sous-2-catégorie pleine de la catégorie des groupoïdes formée ainsi :

  • Les objets sont les groupoïdes à un objet ;
  • Les 1-morphismes sont les foncteurs entre de tels objets. Ils correspondent exactement aux morphismes de groupes au sens usuel.
  • Les 2-morphismes sont les transformations naturelles entre ces foncteurs. Ils sont définis par les automorphismes intérieurs. Si f et g sont deux foncteurs (morphismes de groupes) d'un groupe G vers un groupe H, il existe a élément de H tel que, pour tout x élément de G, .

La catégorie des groupes sur une catégorie

Si K est une catégorie quelconque, on définit la catégorie GrpK des groupes sur K ainsi :

  • Les objets sont les objets groupes (en) dans K, c'est-à-dire les objets G tels que, pour tout objet X, il existe une structure de groupe sur telle que est un foncteur contravariant ;
  • Les morphismes sont les homomorphismes entre objets groupes.

Dans ce cadre, la catégorie des groupes topologiques s'identifie à la catégorie des groupes sur Top, la catégorie des groupes de Lie à la catégorie des groupes sur la catégorie des variétés lisses et la catégorie des faisceaux de groupes sur un espace X s'identifie à la catégorie des groupes sur la catégorie des faisceaux d'ensembles sur X.

Groupes, monoïdes et ensembles

Tout groupe est en particulier un monoïde, on dispose donc naturellement d'un foncteur d'oubli :

Ce foncteur apparaît dans un triplet d'adjonction  :

On peut encore « oublier » la structure de monoïde, pour ne plus voir finalement que les éléments d'un groupe comme formant un ensemble. Cela correspond à un foncteur d'oubli

auquel est naturellement adjoint le foncteur libre F, c'est-à-dire le foncteur qui à un ensemble associe le monoïde librement engendré par ses éléments. On a

En effectuant ces deux opérations d'oubli, on a donc un foncteur d'oubli

dans la catégorie des ensembles. qui est adjoint à droite du foncteur libre

Propriétés

Propriétés catégoriques

Objets

Morphismes

Limites

Références

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