Commutateur (opérateur)

Un commutateur est un opérateur introduit en mathématiques et étendu à la mécanique quantique.

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En mathématiques

En mathématiques, le commutateur donne une idée assez imprécise de la façon dont une loi n'est pas commutative. Il existe plusieurs définitions utilisées en théorie des groupes et en théorie des anneaux.

En théorie des groupes

Soit un groupe et soient et deux éléments du groupe. On appelle commutateur de et l'élément du groupe défini par :

.

Remarque : Un commutateur représente en fait le défaut de « permutabilité » de deux éléments du groupe :

Le commutateur est égal à l'élément neutre du groupe si et seulement si et sont permutables (c'est-à-dire si ).

D'autre part, le sous-groupe engendré par l'ensemble des commutateurs est appelé le groupe dérivé noté ou le sous-groupe des commutateurs de .

Si est réduit à l'élément neutre alors le groupe est un groupe abélien.

Remarquons que nous devons considérer le sous-groupe engendré par les commutateurs parce qu'en général l'ensemble des commutateurs n'est pas fermé pour cette loi. Les commutateurs sont utilisés pour définir les groupes nilpotents.

Note : Certains auteurs préfèrent définir le commutateur de et par

.

Identités

Dans la suite, la loi est notée multiplicativement et l'expression désigne le conjugué (par ) de l'élément c'est-à-dire .

La deuxième identité est aussi connue sous le nom d'identité de Hall-Witt. Il s'agit d'une identité de la théorie des groupes analogue à l'identité de Jacobi de la théorie des commutateurs dans les anneaux (voir la section suivante).

En théorie des anneaux

Le commutateur de deux éléments et d'un anneau est défini par

Il est nul si et seulement si et sont permutables.

En utilisant le commutateur comme un crochet de Lie, toute algèbre associative sur un corps peut être considérée comme une algèbre de Lie. Le commutateur de deux opérateurs sur un espace de Hilbert est un concept important en mécanique quantique puisqu'il mesure à quel point deux descriptions d'observables par des opérateurs peuvent être mesurés simultanément. Le principe d'incertitude est finalement un théorème sur les commutateurs.

De même, l'anticommutateur est défini comme , souvent écrit noté . Voir aussi crochet de Poisson.

Identités

Un commutateur vérifie les propriétés suivantes:

Relation d'algèbre de Lie :

Relations supplémentaires :

  • dont on déduit (par récurrence)

Si est un élément donné d'un anneau , la première relation d'addition peut aussi être interprétée comme la règle de dérivation d'un produit d'une application donnée par . En d'autres termes, l'application définit une dérivation sur l'anneau .

Algèbres graduées

Dans une algèbre graduée, on remplace le commutateur usuel par le « commutateur gradué », défini sur les composantes homogènes par

En mécanique quantique

En mécanique quantique, le commutateur de deux opérateurs et est : . Appliqué à une fonction d'onde, un commutateur permet de savoir s'il est possible de mesurer deux grandeurs relatives à cette fonction d'onde simultanément.

Exemple :

On définit en réalisation X les deux opérateurs suivants :

Alors le commutateur appliqué à une fonction d'onde donne:

On a donc finalement [1]. Le commutateur n'est pas nul, donc les deux opérateurs ne sont pas commutatifs. Alors selon le principe d'incertitude de Heisenberg, les deux grandeurs que sont la position et la vitesse ne sont pas mesurables simultanément.

Références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Commutator » (voir la liste des auteurs).
  1. Donné sous la forme dans (en) Stephen Gasiorowicz, Quantum Physics, Wiley, , 3e éd., 336 p. (ISBN 0471429457, lire en ligne), p. 51.
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