Convergence inconditionnelle

Soient X un groupe topologique abélien — par exemple un espace vectoriel normé — et (xn)n∈ℕ une suite d'éléments de X. On dit que la série xn converge inconditionnellement ou qu'elle est commutativement convergente[1] si, pour toute permutation σ : ℕ → ℕ, la série converge dans X.

Toute série absolument convergente dans un espace de Banach X est inconditionnellement convergente. La réciproque est vraie si et seulement si X est de dimension finie[2].

Une base de Schauder de X est dite inconditionnelle si pour tout x X, la série représentant x converge inconditionnellement.

Lien avec les familles sommables

Théorème[1]  Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si la suite (xn)n∈ℕ est une famille sommable, et toutes les sommes sont alors égales à n∈ℕ xn.

Si la suite est sommable, il est immédiat que toutes les séries permutées convergent (vers sa somme). La réciproque — si toutes les séries permutées convergent, alors la suite est sommable, sans supposer a priori que les sommes des séries sont égales — repose sur deux lemmes[3] :

Lemme 1  Si toutes les séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles :

Lemme 2  Si (xn)n∈ℕ vérifie le critère de Cauchy pour les familles et si l'une des séries converge, alors (xn)n∈ℕ est une famille sommable.

Autres caractérisations

Théorème  Une série de terme général xn est commutativement convergente si et seulement si pour toute suite (εn)n∈ℕ avec εn = ±1, la série converge, ou encore si toute sous-série (n0 < n1 < n2 < …) converge.

Ce théorème se déduit du lemme 2 ci-dessus et du lemme suivant, qui se démontre[4] comme le lemme 1 :

Lemme 3  Si toutes les sous-séries vérifient le critère de Cauchy pour les séries, alors la suite vérifie le critère de Cauchy pour les familles.

Notes et références

  1. Bourbaki, TG, III.44.
  2. Cf. théorème de Dvoretzky-Rogers.
  3. Gustave Choquet, Cours d'analyse, tome II : Topologie, p. 228-229.
  4. (en) Christopher Heil, A Basis Theory Primer : Expanded Edition, Springer, , 534 p. (ISBN 978-0-8176-4686-8, lire en ligne), p. 97.

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) Marián Fabian, Petr Habala, Petr Hájek, Vicente Montesinos Santalucía, Jan Pelant et Václav Zizler, Functional Analysis and Infinite-Dimensional Geometry, 2000 (ISBN 978-0-387-95219-2)

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