Cosinus hyperbolique

Le cosinus hyperbolique est, en mathématiques, une fonction hyperbolique.

Pour les articles homonymes, voir Cosinus (homonymie).
Fonction cosinus hyperbolique
Graphe de la fonction cosinus hyperbolique sur une partie de ℝ.
Notation
Réciproque
sur
Dérivée
Primitives
Principales caractéristiques
Ensemble de définition
Ensemble image
Parité
paire
Valeurs particulières
Valeur en zéro
1
Limite en +∞
Limite en −∞
Minima
1 en 0

Définition

La fonction cosinus hyperbolique, notée (ou )[1], est la fonction complexe suivante :

est l'exponentielle complexe.

La fonction cosinus hyperbolique est donc la partie paire de l'exponentielle complexe. Elle se restreint en une fonction réelle d'une variable réelle.

La fonction cosinus hyperbolique restreinte à ℝ est en quelque sorte l'analogue de la fonction cosinus dans la géométrie hyperbolique.

La notation Ch. x a été introduite par Vincenzo Riccati au XVIIIe siècle.

Propriétés

Propriétés générales

Propriétés trigonométriques

Des définitions des fonctions cosinus et sinus hyperboliques, on peut déduire les égalités suivantes, valables pour tout complexe et analogues aux formules d'Euler en trigonométrie circulaire :

Quand t décrit ℝ, de même que le point de coordonnées parcourt un cercle d'équation , celui de coordonnées parcourt donc une branche d'une hyperbole équilatère d'équation .

D'autre part, pour tous nombres complexes et  :

;
;
, d'où
.

L'utilisation de formules trigonométriques telles que permet aussi d'obtenir des relations plus anecdotiques, telle que (pour tout réel ) :

;

voir également l'article Gudermannien.

Développement en série de Taylor

La série de Taylor de la fonction cosh converge sur ℂ tout entier et est donnée par :

.

Polynômes de Tchebychev

Soit le n-ième polynôme de Tchebychev. En prolongeant aux complexes la relation (vraie pour tout réel t) , on obtient pour tout complexe z la relation

.

Valeurs

Quelques valeurs de  :

  • ;
  • ;
  • .

Zéros

Tous les zéros de cosh sont des imaginaires purs. Plus précisément, pour tout nombre complexe ,

En effet, soit avec réels. On a alors , donc

.

Fonction réciproque

Graphe de la fonction argument cosinus hyperbolique sur [1, +∞[.

Sur [0, +∞[, cosh est continue et strictement croissante ; sa valeur en 0 est 1 et sa limite en +∞ est +∞. C'est donc une bijection de [0, +∞[ dans [1, +∞[. Sa bijection réciproque, notée arcosh (ou argch), est nommée « argument cosinus hyperbolique » ou « arc cosinus hyperbolique ».

Sur ℂ, il s'agit d'une fonction multivaluée complexe. Sa branche principale est généralement choisie en posant comme coupure la demi-droite ]–∞, 1].

Pour x∈ [1, +∞[, il existe deux réels dont le cosh vaut x : En effet, en posant et en utilisant que et , on obtient

La fonction est dérivable sur ]1, +∞[ et

Utilisation

Physique

La courbe représentative de la fonction sur ℝ décrit une chaînette, c’est-à-dire la forme d'un câble homogène fixé aux deux extrémités et soumis à la pesanteur.

Architecture

Le cosinus hyperbolique correspond en architecture à l'arc caténaire issu au départ de l'ingénierie des ponts suspendus. Antoni Gaudí a été l'un des premiers à l'utiliser massivement en architecture commune avec en particulier deux de ses œuvres les plus connues : la crypte de la Colonia Güell et la Sagrada Família.

La Gateway Arch à Saint-Louis dans le Missouri possède la forme d'une chaînette renversée. Elle s'élève à 192 m en son centre et enjambe 192 m à sa base. Les points de cette arche satisfont approximativement l'équation

pour –96 < x < 96.

Note

  1. La norme internationale ISO 80000-2:2009 recommande cosh.

Voir aussi

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