Crochet de Poisson

En mécanique hamiltonienne, on définit le crochet de Poisson de deux observables et , c'est-à-dire de deux fonctions sur l'espace des phases d'un système physique, par :

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où les variables, dites canoniques, sont les coordonnées généralisées et les moments conjugués .

C'est un cas particulier de crochet de Lie.

Propriétés

  • Le crochet de Poisson est antisymétrique :
  • Le crochet de Poisson apporte une structure d'algèbre à l'ensemble des observables, qui en mécanique classique sont des fonctions sur l'espace des phases :

Les trois propriétés précédentes font du crochet de Poisson un cas particulier de crochet de Lie.

  • Le crochet de Poisson satisfait de plus à l'identité de Leibniz :
  • Les variables canoniques sont liées par les relations :
  • car les dérivées partielles commutent.

Équations canoniques

Soit le hamiltonien du système considéré. Les équations canoniques de Hamilton se réécrivent à l'aide du crochet de Poisson sous la forme :

et :

ou encore, de manière unifiée :

est l'espace des phases associé à la formulation hamiltonienne.

Évolution d'une observable quelconque

Cas général

Soit une observable , c’est-à-dire une fonction sur l'espace des phases dépendant des moments et des coordonnées généralisées. Il résulte des relations précédentes que :

désigne la dérivée partielle de par rapport à une éventuelle dépendance explicite de par rapport au temps.

Cas de l'énergie totale

On obtient pour l'énergie totale du système :

puisque par antisymétrie.

Théorème de Poisson

Si et sont deux « intégrales premières » du système[1], c'est-à-dire si , alors en est une aussi.

Démonstration :
Dans le cas où et ne dépendent pas explicitement du temps : d'après l'identité de Jacobi, on a .
Or et , donc .
Comme ne dépend pas non plus explicitement du temps, on a .
D'où la conclusion pour ce cas.
Dans le cas général : on a
En utilisant l'identité de Jacobi et l'égalité utilisant les dérivées partielles, on obtient
La conclusion dans le cas général est alors évidente.

Quantification canonique

L'intérêt du crochet de Poisson est qu'il permet de passer facilement à la quantification dans le formalisme algébrique de Heisenberg de la mécanique quantique. Il suffit en général de faire une substitution :

désigne le commutateur, pour obtenir les relations de commutation des opérateurs dans le formalisme de Heisenberg à partir des crochets de Poisson des observables classiques. La même stratégie est applicable à la quantification d'un champ classique.

Notes

  1. On dit aussi « constante du mouvement ».

Bibliographie

  • R. Campbell, La Mécanique analytique, Coll. Que Sais-Je ?, Presses Universitaires de France
  • Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 1 : Mécanique [détail des éditions]
  • Lev Landau et Evgueni Lifchits, Physique théorique, t. 3 : Mécanique quantique [détail des éditions]
  • A. Messiah, Mécanique quantique, Dunod

Voir aussi

Articles connexes

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