Domaine effectif

En mathématiques, et plus précisément en analyse convexe, le domaine effectif d'une fonction à valeurs dans la droite réelle achevée est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur .

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Définition

Le domaine effectif (ou simplement domaine) d'une fonction , définie sur un ensemble , est l'ensemble des points où elle ne prend pas la valeur (elle peut y prendre la valeur cependant). On le note le plus souvent

On accepte que prenne la valeur sur son domaine pour que celui-ci soit convexe lorsque est convexe.

Propriété

Domaine d'une fonction convexe  Soient un espace vectoriel et une fonction convexe. Alors le domaine de est convexe.

On notera cependant que le domaine d'une fonction convexe fermée n'est pas nécessairement fermé. Par exemple la fonction log-barrière

est convexe fermée, mais son domaine effectif n'est pas fermé dans .

Bibliographie

  • (en) J. M. Borwein, A. S. Lewis (2000). Convex Analysis and Nonlinear Optimization. Springer, New York.
  • (en) Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal (2001). Fundamentals of Convex Analysis. Springer. (ISBN 3-540-42205-6).
  • (en) R.T. Rockafellar (1970). Convex Analysis. Princeton Mathematics Ser. 28. Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
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