Ensemble discret

En mathématiques, plus précisément en topologie, un ensemble discret est un sous-ensemble d'un espace topologique sur lequel la topologie induite est la topologie discrète.

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Traduction

Un sous-ensemble D d'un espace topologique E est discret si pour tout x de D, il existe un voisinage de x dans E ne contenant aucun autre élément de D que x.

Exemples et contre-exemples

  • Les sous-ensembles discrets d'un espace topologique quelconque ne sont pas toujours dénombrables.
  • Les sous-ensembles discrets de l'ensemble R des nombres réels (muni de sa topologie usuelle) le sont.
  • L'ensemble des rationnels est dénombrable, mais pas discret dans R.
  • L'exemple typique d'un ensemble de réels discret infini et borné est celui des 1/n pour tout entier n non nul.

Emploi

Cette notion est utilisée par exemple en optimisation combinatoire pour désigner des ensembles finis ou des ensembles qui ont «essentiellement la même nature que» l'ensemble des entiers naturels, c'est-à-dire les ensembles qui sont en bijection avec celui-ci[réf. souhaitée].

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