Espace complètement régulier

En mathématiques, un espace complètement régulier (ou de Tikhonov) est un espace topologique vérifiant une propriété de séparation plus forte que la séparation usuelle et même que la propriété d'être régulier.

Définition

Un espace topologique X vérifie la propriété de séparation T3 1/2 si pour tout point x de X et pour tout fermé F de X ne contenant pas x, il existe une application continue de X dans le segment [0, 1] valant 0 en x et 1 sur F (on dit alors que cette application sépare le point du fermé).

Un espace est complètement régulier s'il est séparé et vérifie T3 1/2. Il suffit pour cela qu'il vérifie T0 et T3 1/2.

Un espace vérifie donc T3 1/2 si et seulement si son quotient de Kolmogorov est complètement régulier.

Exemples

Caractérisations

Pour tout espace topologique X, les propriétés suivantes sont équivalentes :

  • X vérifie T3 1/2 ;
  • la topologie de X coïncide avec la topologie initiale associée à l'ensemble d'applications continues C(X, ℝ) ou au sous-ensemble Cb(X, ℝ) de celles qui sont bornées, ou même à C(X,[0, 1]) ;
  • X est uniformisable ;
  • tout fermé de X est une intersection de lieux d'annulation (en) de fonctions continues.

Un espace séparé X est complètement régulier si et seulement si X se plonge dans un espace compact, qui peut alors être choisi égal au cube de Tychonoff (en) [0, 1]C(X,[0, 1])[1] ; l'adhérence de X dans ce cube est alors le compactifié de Stone-Čech de X.

Propriétés de permanence

La complète régularité est préservée par sous-espaces et par produits. Plus généralement, la propriété T3 1/2 est préservée par topologie initiale (mais pas la séparation).

Comme tous les axiomes de séparation, ces deux propriétés ne sont pas préservées par topologie finale : le quotient du plan de Moore obtenu en identifiant tous les points de ×{0} à l'un d'eux et tous ceux de (ℝ\ℚ)×{0} à l'un d'eux n'est même pas séparé[2].

Notes et références

  1. François Guénard et Gilbert Lelièvre, Compléments d'analyse, Vol. 1 : Topologie, première partie, ENS Fontenay éd., (lire en ligne), p. 28.
  2. Willard 1970, p. 93, Example 14.5.
(de)/(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu des articles intitulés en allemand « Vollständig regulärer Raum » (voir la liste des auteurs) et en anglais « Tychonoff space » (voir la liste des auteurs)

, dont les références étaient :

  • (de) Johann Cigler (de) et Hans-Christian Reichel (de), Topologie : Eine Grundvorlesung, Mannheim, Bibliographisches Institut, coll. « BI-Hochschultaschenbücher » (no 121), (ISBN 978-3-411-00121-7),
  • (de) Wolfgang Franz (de), Topologie, vol. 1 : Allgemeine Topologie, Berlin, Walter de Gruyter, coll. « Sammlung Göschen » (no 6181), , 4e éd. (ISBN 978-3-11-004117-0),
  • (en) Stephen Willard, General Topology, Addison-Wesley, et
  • (en) Leonard Gillman (en) et Meyer Jerison (en), Rings of continuous functions, Springer, coll. « GTM » (no 43), (1re éd. 1960).
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