Fonction B-différentiable

En analyse mathématique, la B-différentiabilité est un concept de différentiabiité plus faible que celui de Fréchet, dans lequel l'opérateur dérivée n'est pas requis d'être linéaire et borné, mais seulement positivement homogène et borné. La lettre B fait référence à Bouligand. Cet affaiblissement important de la définition permet toutefois de préserver des propriétés importantes, telles que la B-différentiabilité en chaîne et la formule des accroissements finis. Contrairement à la Fréchet-différentiabilité, la B-différentiabilité n'est pas détruite par la prise du minimum ou du maximum d'un nombre fini de fonctions, ce qui est un atout dans certaines circonstances.

Cette notion est, par exemple, utilisée pour définir et interpréter des algorithmes de recherche de zéro de fonctions non différentiables dans un sens classique et en démontrer des propriétés de convergence. Il en est ainsi de certains algorithmes newtoniens en optimisation avec contraintes et en complémentarité.

Définition

Soient et deux espaces normés, dont les normes sont toutes deux notées .

B-différentiabilité  On dit qu'une fonction est B-différentiable en , s'il existe un opérateur positivement homogène (de degré un) et borné, tel que

L'opérateur , nécessairement unique, est appelé la B-dérivée de en .

On dit que est B-différentiable sur un ouvert si est B-différentiable en tout point de .

Cette définition requiert quelques éclaircissements et commentaires.

  • La notion de B-différentiabilité a été introduite par Robinson (1987)[1]. La lettre B fait référence à Georges Bouligand.
  • On dit qu'une fonction est positivement homogène (de degré un) si, quel que soit et le réel , on a . Alors , clairement.
  • Un opérateur positivement homogène est dit borné si sa norme , définie ci-dessous, est finie :


    Comme pour les opérateurs linéaires, il revient au même de dire que est continu en zéro.
  • On a noté la valeur de en .
  • On dit qu'une fonction est un petit o de en zéro et on écrit si

Exemples

  1. La fonction minimum composante par composante


    est partout B-différentiable et sa B-dérivée est donnée par


    On a un résultat analogue pour la fonction .
  2. Si on compose avec deux fonctions et B-dérivables en , on obtient une fonction


    qui est aussi B-dérivable en et dont la B-dérivée est donnée par


    On a un résultat analogue pour la fonction .

Propriétés

Propriétés immédiates

  • Si est B-différentiable en , sa B-dérivée est unique.
  • L'ensemble des fonctions B-différentiables en est un espace vectoriel et on a



Liens avec d'autres concepts de différentiabilité

Les liens avec la différentiabilité au sens de Fréchet sont clairs. Ci-dessous, on note la dérivée au sens de Fréchet.

Liens avec la Fréchet différentiabilité  

  • Si est Fréchet différentiable en , alors est B-différentiable en et .
  • Si est B-différentiable en et si est linéaire, alors est Fréchet différentiable en et .

Voici quelques liens avec la différentiabilité directionnelle (au sens de Dini). On note la dérivée directionnelle (au sens de Dini) en dans la direction . Si le fait qu'une fonction B-différentiable admette des dérivées directionnelles est clair, la réciproque, pour des fonctions localement lipschiziennes, l'est moins ; ce dernier résultat est dû à Shapiro (1990)[2].

Liens avec la différentiabilité directionnelle au sens de Dini  

  • Si est B-différentiable en , alors admet des dérivées directionnelles (au sens de Dini) en suivant toute direction et .
  • Si est lipschitzienne dans un voisinage de et si admet des dérivées directionnelles en suivant toute direction, alors est B-différentiable en .

En résumé, pour les fonctions localement lipschitziennes, la notion de B-différentiabilité est la même que celle de différentiabilité directionnelle (au sens de Dini).

Régularité de la B-dérivée

La lipschitzianité locale éventuelle de se transmet à sa B-dérivée.

Lipschitzianité de la B-dérivée  Si est lipschitzienne de module dans un voisinage de et B-différentiable en , alors est lipschitzienne de module .

Mais en général, n'est pas lipschitzienne dans un voisinage de , ni même continue. Par exemple, si est définie par

on a , si bien que , alors que pour .

B-dérivation en chaîne

Le succès de la B-dérivée doit beaucoup à sa stabilité par rapport à la composition de fonctions[1].

B-différentiabilité d'une composition  Soient , et trois espaces normés. Si

  • est B-différentiable en ,
  • est B-différentiable en et lipschitzienne dans un voisinage de ,

alors la fonction composée est B-différentiable en et sa B-différentielle est donnée par

Formule des accroissements finis

Le résultat suivant est dû à Pang (1990)[3].

Formule des accroissements finis  Si

  • , et ,
  • est lipschitzienne dans un voisinage de et B-différentiable sur ,
  • est positivement homogène de degré 1 et borné,

alors

En prenant , on obtient la formule des accroissements finis

Continue et forte B-différentiabilités

Définitions

Voici les définitions de continue et forte B-différentiabilités.

Continue B-différentiabilité  On dit que est continûment B-différentiable en si elle est B-différentiable dans un voisinage de et si est continue comme application de dans l'espace vectoriel normé des opérateurs positivement homogènes de degré 1 bornés.

On dit que est continûment B-différentiable sur une partie si elle est continûment B-différentiable en tout point de .

Forte B-différentiabilité  On dit que est fortement B-différentiable en si elle est B-différentiable en et si

Rappelons la définition analogue de la forte Fréchet différentiabilité.

Forte Fréchet différentiabilité  On dit que est fortement Fréchet différentiable en si elle est Fréchet différentiable en et si

Cette dernière notion de forte Fréchet différentiabilité en un point ne se diffuse pas : en particulier on peut avoir une fonction B-différentiable qui soit fortement Fréchet différentiable en un pont mais pas en des points arbitrairement proches de [3].

Propriétés

Les notions de forte B-différentiabilité et de forte Fréchet différentiabilité sont en réalité équivalentes.

Équivalence entre forte B-différentiabilité et forte Fréchet différentiabilité  Une fonction est fortement B-différentiable en si, et seulement si, elle est fortement Fréchet différentiable en .

Si est B-différentiable dans un voisinage de , cette notion est très proche de la continue B-différentiabilité[3].

Continue et forte B-différentiabilité  Si est B-différentiable dans un voisinage de , alors les propositions suivantes sont équivalentes :

  1. est fortement B-différentiable en ,
  2. est lipschitzienne dans un voisinage de et est continue en .

Annexes

Notes

  1. (en) S.M. Robinson (1987). Local structure of feasible sets in nonlinear programming, part III: stability and sensitivity. Mathematical Programming Study, 30, 45-66.
  2. (en) A. Shapiro (1990). On concepts of directional differentiability. Journal of Optimization Theory and Applications, 66, 477–487.
  3. (en) J.-S. Pang (1990). Newton’s method for B-differentiable equations. Mathematics of Operations Research, 15, 311–341.

Articles connexes

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