Fonction concave

En mathématiques, une fonction f est dite concave lorsque la fonction opposée –f est convexe.

La fonction représentée à gauche est concave ; celle de droite est convexe.

Le fait que l'on préfère commencer par définir la notion de fonction convexe et d'en déduire celle de fonction concave trouve son origine dans le fait que l'on définit aisément la notion d'ensemble convexe, alors que celle d'« ensemble concave » est moins naturelle. On définit alors les fonctions convexes comme celles ayant un épigraphe convexe (les fonctions concaves ont un hypographe convexe). C'est pourquoi l'analyse convexe existe en tant que discipline des mathématiques, mais pas l'« analyse concave ».

Exemple de fonctions concaves

Exemples de fonctions réelles concaves.

Parmi les fonctions concaves simples, on peut citer évidemment par définition les opposées des fonctions réelles convexes, par exemple :

Citons également certaines réciproques de fonctions convexes, par exemple sur ℝ+* :

De manière plus générale, les fonctions deux fois dérivables dont la dérivée seconde est toujours négative sont des fonctions concaves. Mais une fonction concave n'est pas nécessairement dérivable, comme en témoigne la fonction x ↦ –|x|.

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