Forme symplectique

En mathématiques, il existe trois notions distinctes mais intimement reliées de formes symplectiques :

  1. les formes symplectiques d'espaces vectoriels ;
  2. les formes symplectiques de fibrés vectoriels ;
  3. les formes symplectiques sur les variétés différentielles.

Espace vectoriel symplectique

En algèbre linéaire, une forme symplectique sur un espace vectoriel est une forme bilinéaire non dégénérée alternée . Un espace vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé espace vectoriel symplectique.

Exemples :

  • , pour la base duale canonique de , est un espace vectoriel symplectique.
  • Si est un espace vectoriel réel et alors , où
,

est un espace vectoriel symplectique.

Fibré symplectique

En géométrie différentielle, une forme symplectique sur un fibré vectoriel réel est une section globale lisse du fibré qui est non dégénérée fibre par fibre. Un fibré vectoriel muni d'une forme symplectique est nommé fibré vectoriel symplectique.

Remarques :

  • Une forme symplectique de fibré symplectique est une famille lisse de formes symplectiques d'espaces vectoriels dont les espaces vectoriels en question sont les fibres du fibré .

Exemples :

  • Si est un fibré vectoriel réel et alors , où
,

est un fibré vectoriel symplectique sur .

Ce dernier exemple montre la naturalité des formes symplectiques. Contrairement aux métriques riemanniennes, leur existence est mal comprise, mais au moins, elles viennent naturellement.

Variété symplectique

Toujours en géométrie différentielle, une forme symplectique sur une variété différentielle est une 2-forme différentielle qui est :

  1. fermée (au sens de la différentielle extérieure), i.e. ;
  2. non dégénérée (fibre par fibre), i.e. pour tout non nul, est non nul.

Une variété différentielle munie d'une forme symplectique est nommé variété symplectique.

Remarques :

  • La forme symplectique d'une variété symplectique est aussi une forme symplectique de fibré vectoriel dont le fibré en question est le fibré tangent de la variété différentielle . Toutefois, ici, on ajoute la condition de fermeture . Lorsque est une forme symplectique pour le fibré mais qu'elle ne vérifie pas forcément la condition de fermeture , la paire est dit être une variété presque-symplectique.
  • La condition d'être fermée d'une forme symplectique d'une variété symplectique implique, par le théorème de Darboux, qu'autour de tout point de il existe un système de coordonnées locales tel que s'y écrive de manière canonique .
  • L'existence des formes symplectiques sur les variétés différentielles est une question ouverte.

Exemples :

  • Si est une variété symplectique de dimension , et que est une sous-variété différentielle de , alors :
    • Le fibré tangent de se restreint en un fibré de rang sur , noté . Et est un fibré symplectique sur .
    • Si en tout point de , la forme bilineaire est non dégénérée en restriction à l'espace tangent , alors est une variété symplectique.

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Dusa McDuff et Dietmar Salamon, Introduction to symplectic topology,
  • Portail de la géométrie
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