Formule de Wald

En théorie des probabilités, la formule de Wald est une identité utile notamment pour simplifier des calculs d'espérances.

Le nom de cette formule vient du mathématicien hongrois Abraham Wald.

Théorème

Soit une suite de variables aléatoires.

Soit une variable aléatoire à valeurs dans

On pose :

Formule de Wald  On suppose que :

  • est une suite de variables aléatoires de même loi, indépendantes,
  • les et sont intégrables ,

et on suppose que l'une des deux conditions suivantes est remplie :

  • est un temps d'arrêt adapté à la suite . En d'autres termes l'événement est entièrement déterminé par

ou bien :

  • est indépendant de la suite .

Alors on a :

Et si on note :

  • la fonction génératrice de .
  • la fonction génératrice de .
  • la fonction génératrice des .

On a aussi :

Formulation générale

On peut englober les deux hypothèses alternatives ci-dessus, ainsi que l'indépendance de la suite dans la formulation suivante :

Hypothèse  Il existe une filtration telle que :

  • est un temps d'arrêt adapté à la filtration ;
  • la suite est adaptée à la filtration ;
  • pour tout la tribu et la variable sont indépendants.

Le premier jeu d'hypothèses découle alors du choix et le second jeu d'hypothèses découle du choix

Encore plus généralement, les deux formules de Wald ci-dessus sont des cas particuliers de la formule d'arrêt pour les martingales.

Bibliographie

  • Portail des probabilités et de la statistique
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