Graphe distance-unité

En mathématiques, plus particulièrement en théorie des graphes, un graphe distance-unité est un graphe s'obtenant à partir d'un ensemble de points du plan euclidien en reliant par une arête toutes les paires de points étant à une distance de 1. Les arêtes peuvent se croiser si bien qu'un graphe distance-unité n'est pas nécessairement un graphe planaire. S'il n'y a pas de croisement entre les arêtes, alors le graphe est qualifié de graphe allumette.

Le graphe de Petersen est un graphe distance-unité : il peut être tracé sur le plan avec des arêtes toutes de longueur 1.
L'hypercube Q4 est un graphe distance-unité.

Exemples

Dénombrement

Paul Erdős posa le problème suivant en 1946 : étant donnés n points, comment estimer le nombre maximal de paires de points pouvant être à une distance de 1 sur le plan euclidien[1] ? En d'autres termes quelle est la densité maximale d'un graphe distance-unité d'ordre n ? Ce problème est très lié au théorème de Szemerédi-Trotter.

L'hypercube fournit une borne inférieure sur le nombre de paires de points proportionnelle à n log n.

Application

Le problème de Hadwiger-Nelson, introduit en 1944 par Hugo Hadwiger et Edward Nelson, concerne le nombre minimal de couleurs qu'il faut pour colorier le plan de façon que deux points à une distance de 1 ne soient jamais de la même couleur[2]. Il peut être formalisé en théorie des graphes de la façon suivante : quel est le nombre chromatique maximal d'un graphe distance-unité ? Le problème est toujours ouvert mais le graphe de Golomb, avec son nombre chromatique égal à 4, fournit une borne inférieure[3]. Un autre exemple connu, plus petit mais avec le même nombre chromatique, est le graphe de Moser[4]. Cependant, cette borne a été améliorée en 2018 grâce à la découverte d'un graphe distance-unité de nombre chromatique 5.

Généralisation

La notion de dimension d'un graphe reprend l'idée d'un graphe tracé avec des arêtes de longueur 1, mais ne se restreint pas au plan.

Références

  1. (en) Paul Erdős, « On sets of distances of n points », Amer. Math. Monthly, vol. 53, , p. 248-250 (lire en ligne)
  2. (en) Joseph O'Rourke, « Problem 57: Chromatic Number of the Plane », sur The Open Problems Project.
  3. (en) A. Soifer, The Mathematical Coloring Book: Mathematics of Coloring and the Colorful Life of Its Creators, New York, Springer, 2008, p. 19-20.
  4. (en) L. Moser et W. Moser, « Problem 10 », dans Canad. Math. Bull., no 4, 1961, p. 187-189.
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