Groupe de Heisenberg

En mathématiques, le groupe de Heisenberg d'un anneau unifère A (non nécessairement commutatif) est le groupe multiplicatif des matrices triangulaires supérieures de taille 3 à coefficients dans A et dont les éléments diagonaux sont égaux au neutre multiplicatif de l'anneau :

Originellement, l'anneau A choisi par Werner Heisenberg était le corps ℝ des réels. Le « groupe de Heisenberg continu », , lui a permis d'expliquer, en mécanique quantique, l'équivalence entre la représentation de Heisenberg et celle de Schrödinger. On peut généraliser sa définition en géométrie symplectique.

Le « groupe de Heisenberg discret » correspond à l'anneau ℤ des entiers.

Le groupe de Heisenberg , où p est un nombre premier, correspond au corps premier fini Fp = ℤ/p. C'est un p-groupe fini, d'ordre p3.

Structure de groupe

est un sous-groupe du groupe linéaire GL(3, A).

La loi sur A3 induite par la bijection

est :

C'est donc le produit semi-direct A⋉(A×A), le groupe additif A agissant sur le produit direct A×A par : a⋅(b, c) = (b, c + ab).

Par construction, A3 muni de cette loi est un groupe isomorphe à , dans lequel :

  • les puissances n-ièmes sont données par ,
  • le symétrique de est , donc
  • le commutateur de et est , donc
  • le groupe dérivé et le centre sont égaux à 0×0×A.

Le groupe est par conséquent nilpotent de classe 2, donc non abélien (sauf si A est l'anneau nul, auquel cas le groupe est trivial).

Groupe de Heisenberg continu

est un groupe de Lie réel de dimension 3. Le groupe de Heisenberg discret en est un réseau.

Géométrie symplectique linéaire

Plus généralement, on peut associer un groupe de Heisenberg à tout espace vectoriel symplectique ( est une forme bilinéaire non dégénérée alternée sur ). Le groupe de Heisenberg est l'espace topologique produit , muni de la loi de groupe :

Le groupe est une extension du groupe additif de . L'algèbre de Lie de est l'espace vectoriel , muni du crochet de Lie

Groupe de Heisenberg discret

Le groupe , identifié à muni de la loi ci-dessus, est engendré par et . En faisant intervenir leur commutateur , on démontre qu'une présentation de ce groupe est donnée par trois générateurs et trois relations : , et .

D'après le théorème de Bass, a une croissance (en) polynomiale d'ordre 4.

Groupe de Heisenberg sur Fp

D'après sa structure (voir supra) :

  • a un centre d'ordre p et son quotient par ce centre est un p-groupe abélien élémentaire (en) (isomorphe à (ℤ/pℤ)×(ℤ/pℤ)) : on dit que est un p-groupe extra-spécial (en) ;
  • ce quotient est aussi l'abélianisé de .

Cas p premier impair

Le groupe est le quotient de par le sous-groupe normal . Comme p est impair, ce sous-groupe est constitué des puissances p-ièmes d'éléments du groupe. Une présentation de (déduite de celle de ci-dessus) est donc donnée par trois générateurs et les relations : , , et .

L'exposant de est p.

Cas p = 2

Le groupe est isomorphe au groupe diédral D8. En effet, il est d'ordre 8 et engendré par les images des générateurs de , ou encore par , d'ordre 2 et , d'ordre 4, qui vérifient

Voir aussi

Lien externe

(en) Keith Conrad, « Groups of order p3 »

Bibliographie

(en) Daniel K. Biss et Samit Dasgupta, « A presentation for the unipotent group over rings with identity », Journal of Algebra, vol. 237, no 2, , p. 691-707 (DOI 10.1006/jabr.2000.8604)

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