Groupe presque simple

En mathématiques, un groupe presque simple est un groupe contenant un groupe simple non abélien et contenu dans le groupe des automorphismes de ce groupe simple, ce qui s'écrit formellement :

.

Ces deux inclusions de sous-groupes sont à comprendre au sens suivant[1] :

Exemples

  • Les groupes simples non abéliens et leurs groupes d'automorphismes sont presque simples de façon triviale.
  • Pour ou , le groupe alterné est simple et non abélien, et le morphisme canonique du groupe symétrique dans est bijectif. Pour ces valeurs de , est donc presque simple au sens trivial ci-dessus.
  • est strictement compris entre le groupe simple et — en raison de l'automorphisme extérieur exceptionnel de — et fournit donc un premier exemple non trivial de groupe presque simple. Deux autres groupes, le groupe simplement 3-transitif et le groupe projectif linéaire , sont aussi strictement compris entre et .

Propriétés

Le groupe des automorphismes d'un groupe simple non abélien est un groupe complet, mais les sous-groupes propres du groupe des automorphismes ne sont pas nécessairement complets.

Structure

Par la conjecture de Schreier, maintenant reconnue comme un corollaire de la classification des groupes finis simples, le groupe des automorphisme extérieurs d'un groupe fini simple est résoluble. Tout groupe fini presque simple est donc une extension d'un groupe résoluble par un groupe simple.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Almost simple group » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) « Almost simple group », sur Group Properties wiki.

Articles connexes

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