Intégrale de Fresnel

L'intégrale de Fresnel est une intégrale impropre introduite par le physicien français Augustin Fresnel.

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Formule de Fresnel

Les fonctions S(x) et C(x) non normalisées.

Ces égalités sont équivalentes à l'expression de l'intégrale de Fresnel complexe (par identification des parties réelle et imaginaire dans un sens et par combinaison linéaire dans l'autre) :

Convergence de l'intégrale

Le calcul explicite (voir infra) montrera que l'intégrale de Fresnel converge, mais on peut s'en assurer plus simplement :

  • par le changement de variable , la convergence de équivaut à celle de ;
  • d'après la règle d'Abel, pour tout λ > 0, l'intégrale converge[1].

Définition

Les fonctions S(x) et C(x) normalisées.

Les fonctions de Fresnel sont des fonctions spéciales, définies par les intégrales et développement en série entière associés :

Ces fonctions sont parfois définies avec l'argument dans les intégrales définissant S(x) et C(x). Les intégrales sont alors multipliées par et les intégrandes sont divisés par x.

La formule de Fresnel vue précédemment est donc la limite en +∞ des deux fonctions S et C non normalisées.

Calcul de l'intégrale de Fresnel

Par une intégrale à paramètre

Considérons pour tout réel la fonction de ℝ+ dans ℂ définie par

Cette fonction est intégrable, car continue sur ℝ+ et majorée en module par , qui est intégrable en +∞.

Il est donc possible de poser , la fonction définie pour tout par l'intégrale à paramètre suivante :

On montre que est continue sur ℝ et nulle à l'infini, et qu'elle est de classe C1 sur ℝ+* avec

En simplifiant l'expression de et en l'intégrant de 0 à +∞, on en déduit que

On se sert alors de l'expression sous la forme et d'une intégrale classique :

pour en déduire que

.

Par intégration complexe

Il est aussi possible d'intégrer sur le bord du secteur circulaire de sommets puis de faire tendre vers l'infini.

Contour utilisé pour le calcul.

Intéressons nous d'abord à .

après un changement de variable . Or, sur , la concavité de donne

donc

donc

Le théorème des gendarmes donne ainsi . Grâce au résultat de l'intégrale de Gauss, . De plus, .

La fonction est entière donc le théorème intégral de Cauchy assure que

Dès lors,

donc

.
Remarque
Un calcul identique montre que plus généralement, pour tout nombre complexe dont la partie réelle appartient à ,
désigne la fonction gamma. En adaptant le choix du contour, on peut même démontrer cette égalité pour , ce qui, par changement de variable (voir supra), équivaut au calcul du § « Exemple » de l'article sur le théorème intégral de Cauchy.

Par les coordonnées polaires et le théorème de Fubini

Référence

  1. D. Ghorbanzadeh et al., Mathématiques du signal : Rappels de cours et exercices résolus, Dunod, , 3e éd. (lire en ligne), p. 6-7.

Articles connexes

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