Liste des groupes d'espace

Il existe 230 types de groupes d'espace en trois dimensions, dénommés par un index numérique et un symbole d'Hermann-Mauguin, appelé aussi symbole international (abrégé, complet ou étendu). Le symbole est parfois donné avec des espaces pour une meilleure lisibilité. À chaque type de groupe ponctuel de symétrie cristallographique correspond un ou plusieurs types de groupe d'espace.

Symboles

Dans la notation de Hermann-Mauguin, les groupes d'espace sont nommés par un symbole qui contient une lettre majuscule décrivant le type de réseau et, pour chaque direction de symétrie du réseau, les éléments de symétrie. Lorsque plusieurs éléments de symétrie coexistent le long d’une direction de symétrie, dans le symbole du groupe d’espace on en choisit un selon la règle de priorité suivante :

  • les axes de rotation sont prioritaires par rapport aux axes hélicoïdaux ayant la même composante de rotations ;
  • les miroirs sont choisis selon la priorité suivante : m>e>a,b,c>n>d.

Des exceptions existent toutefois, notamment dans le cas des groupes I222 vs. I212121 et de leur supergroupes cubiques I23 vs. I213. Dans ces groupes, un axe de rotation et un axe hélicoïdal coexistent le long des trois directions [100], [010], [001]. Dans I222 et I23 les axes de rotation se croisent en un point, alors que cela n’est pas vrai pour I212121 et I213. Pour différencier ces deux paires de groupes, la convention ci-dessous n’est pas suivie pour I212121 et I213.

Le plan de réflexion m est le seul que l'on peut trouver dans un groupe ponctuel. Dans un groupe d'espace, en revanche, on trouve aussi des miroirs translatoires ou plans de glissement, désignés par a, b ou c lorsque la direction de glissement est parallèle à un vecteur de base. Selon le choix de la maille, on trouve aussi le glissement n qui est un glissement le long de la moitié d'une diagonale d'une face de la maille, et le glissement d qui est le long d'un quart d'une diagonale d'une face ou dans l'espace de la maille unitaire. Le glissement d est souvent appelé le plan de glissement du diamant car il apparaît dans la structure de diamant.

  • , ou , plan de glissement de cette face le long de la moitié d'un vecteur de la maille unitaire perpendiculaire à la face.
  • , plan de glissement le long de la moitié de la diagonale d'une face.
  • , plan de glissement le long d'un quart de la diagonale d'une face.
  • , deux translations selon le même plan de glissement et une autre le long de la somme de deux vecteurs de la moitié de deux paramètres de la maille.

Un axe de rotation peut être remplacé par un axe hélicoïdal et est noté par le nombre n, qui correspond à l'angle de rotation de cet axe : . La longueur de la translation est alors ajoutée sous la forme d'un indice indiquant quelle est sa mesure le long de l'axe, c'est-à-dire la fraction du vecteur du paramètre de la maille parallèle. Par exemple, 21 est une rotation à 180 °, suivie d'une translation de ½ selon la vecteur de la maille parallèle à l'axe de rotation. 31 correspond à une rotation de 120° suivie d'une translation de la moitié du vecteur de la maille parallèle à l'axe de rotation.

Les axes hélicoïdaux possibles sont: 21, 31, 32, 41, 42, 43, 61, 62, 63, 64 et 65.

Un type de groupe d'espace peut avoir jusqu'à trois symboles d'Hermann-Mauguin:

  • le symbole court, qui ne montre le long de chaque direction de symétrie que le nombre indispensable d'éléments de symétrie pour générer et représenter le groupe ;
  • le symbole complet, qui montre chaque type d'élément de symétrie le long de chaque direction de symétrie;
  • le symbole étendu, bâtit sur le symbole court mais qui montre les éléments parallèles entre eux.

Par exemple, le groupe nº 72 est représente par le symbol court Ibam, le symnol complet I2/b2/a2/m et le symbol étendu ci-dessous.

Ibam
ccn

Dans la notation Schoenflies, le symbole d'un groupe d'espace est représenté par le symbole du groupe ponctuel correspondant avec un exposant supplémentaire. Cet exposant ne donne aucune information supplémentaire sur les éléments de symétrie du groupe d'espace. Il est lié à l'ordre dans lequel Shoenflies a décrit ces groupes d'espace.

Dans la notation Fedorov, le type de groupe d'espace est noté s (symmorphique), h (hémisymmorphique) ou a (asymmorphique). Cette lettre est suivie d'un nombre lié à l'ordre dans lequel Fedorov a décrit ces groupes d'espace. Les groupes d'espace qui correspondent au même groupe ponctuel peuvent être classés en symmorphiques (73), hémisymmorphiques (54) et asymmorphiques (103):

  • dans les groupes symmorphiquse le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est isomorphe du groupe ponctuel; les symboles des ces groupes ne présentent, outre que la lettre indiquant le type de maille conventionnelle, que des éléments de symétrie sans translation, car les opérations correspondantes peuvent être choisies, avec les translations, comme génèrateurs du groupe d'espace;
  • dans les groupes hémisymmorphiques, le groupe de symétrie du site de la position de Wyckoff de moindre multiplicité est un sous-groupe d'indice 2 du groupe correspondant dans le groupe symmorphique et ne contient que des opérations de première espece;
  • tous les autres groupes d'espace sont asymmorphiques.

Par exemple, pour le groupe ponctuel de symétrie 4/mmm :

  • les groupes d'espace symmorphiques sont P4/mmm (, 36s) et I4/mmm (, 37s)
  • les groupes d'espace hémisymmorphiques doivent contenir une combinaison axiale 422, ce sont P4/mcc (, 35h), P4/nbm (, 36h), P4/nnc (, 37h) et I4/mcm (, 38h).

Liste des groupes tricliniques

Réseau de Bravais
triclinique (aP)
Système cristallin triclinique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
11P1P 11s
21P1[1]P 12s

Liste des groupes monocliniques

Réseaux de Bravais monocliniques
Simple
(mP)
Centré faces C
(mC)
Système cristallin monoclinique
Numéro Groupe ponctuel Nom abrégé Noms complets Schoenflies Fedorov Shubnikov
32P2P 1 2 1P 1 1 23s
42P21P 1 21 1P 1 1 211a
52C2C 1 2 1B 1 1 24s
6mPmP 1 m 1P 1 1 m5s
7mPcP 1 c 1P 1 1 b1h
8mCmC 1 m 1B 1 1 m6s
9mCcC 1 c 1B 1 1 b2h
102/mP2/mP 1 2/m 1P 1 1 2/m7s
112/mP21/mP 1 21/m 1P 1 1 21/m2a
122/mC2/mC 1 2/m 1B 1 1 2/m8s
132/mP2/cP 1 2/c 1P 1 1 2/b3h
142/mP21/c[2]P 1 21/c 1P 1 1 21/b3a
152/mC2/c[3]C 1 2/c 1B 1 1 2/b4h

Liste des groupes orthorhombiques

Réseaux de Bravais orthorhombiques
Primitif
(oP)
Centré
(oI)
centré faces C
(oC)
Faces centrées
(oF)
Système cristallin orthorhombique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
16222P222P 2 2 29s
17222P2221P 2 2 214a
18222P21212P 21 21 27a
19222P212121P 21 21 218a
20222C2221C 2 2 215a
21222C222C 2 2 210s
22222F222F 2 2 212s
23222I222I 2 2 211s
24222I212121I 21 21 216a
25mm2Pmm2P m m 213s
26mm2Pmc21P m c 219a
27mm2Pcc2P c c 25h
28mm2Pma2P m a 26h
29mm2Pca21P c a 2111a
30mm2Pnc2P n c 27h
31mm2Pmn21P m n 2110a
32mm2Pba2P b a 29h
33mm2Pna21P n a 2112a
34mm2Pnn2P n n 28h
35mm2Cmm2C m m 214s
36mm2Cmc21C m c 2113a
37mm2Ccc2C c c 210h
38mm2Amm2A m m 215s
39mm2Aem2A e m 211h
40mm2Ama2A m a 212h
41mm2Aea2A e a 213h
42mm2Fmm2F m m 217s
43mm2Fdd2F dd216h
44mm2Imm2I m m 216s
45mm2Iba2I b a 215h
46mm2Ima2I m a 214h
47PmmmP 2/m 2/m 2/m18s
48PnnnP 2/n 2/n 2/n19h
49PccmP 2/c 2/c 2/m17h
50PbanP 2/b 2/a 2/n18h
51PmmaP 21/m 2/m 2/a14a
52PnnaP 2/n 21/n 2/a17a
53PmnaP 2/m 2/n 21/a15a
54PccaP 21/c 2/c 2/a16a
55PbamP 21/b 21/a 2/m22a
56PccnP 21/c 21/c 2/n27a
57Pbcm [4]P 2/b 21/c 21/m23a
58PnnmP 21/n 21/n 2/m25a
59PmmnP 21/m 21/m 2/n24a
60PbcnP 21/b 2/c 21/n26a
61PbcaP 21/b 21/c 21/a29a
62Pnma [5]P 21/n 21/m 21/a28a
63Cmcm[6]C 2/m 2/c 21/m18a
64Cmce[7]C 2/m 2/c 21/e19a
65CmmmC 2/m 2/m 2/m19s
66CccmC 2/c 2/c 2/m20h
67CmmeC 2/m 2/m 2/e21h
68CcceC 2/c 2/c 2/e22h
69FmmmF 2/m 2/m 2/m21s
70FdddF 2/d 2/d 2/d24h
71ImmmI 2/m 2/m 2/m20s
72IbamI 2/b 2/a 2/m23h
73IbcaI 2/b 2/c 2/a21a
74ImmaI 2/m 2/m 2/a20a

Liste des groupes tétragonaux

Réseaux de Bravais tétragonaux
Primitif
(tP)
Centré
(tI)
Système cristallin tétragonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
754P4P 422s
764P41P 4130a
774P42P 4233a
784P43P 4331a
794I4I 423s
804I41I 4132a
814P4P 426s
824I4I 427s
834/mP4/mP 4/m28s
844/mP42/mP 42/m41a
854/mP4/nP 4/n29h
864/mP42/nP 42/n42a
874/mI4/mI 4/m29s
884/mI41/aI 41/a40a
89422P422P 4 2 230s
90422P4212P421243a
91422P4122P 41 2 244a
92422P41212P 41 21 248a
93422P4222P 42 2 247a
94422P42212P 42 21 250a
95422P4322P 43 2 245a
96422P43212P 43 21 249a
97422I422I 4 2 231s
98422I4122I 41 2 246a
994mmP4mmP 4 m m24s
1004mmP4bmP 4 b m26h
1014mmP42cmP 42 c m37a
1024mmP42nmP 42 n m38a
1034mmP4ccP 4 c c25h
1044mmP4ncP 4 n c27h
1054mmP42mcP 42 m c36a
1064mmP42bcP 42 b c39a
1074mmI4mmI 4 m m25s
1084mmI4cmI 4 c m28h
1094mmI41mdI 41 m d34a
1104mmI41cdI 41 c d35a
11142mP42mP 4 2 m32s
11242mP42cP 4 2 c30h
11342mP421mP 4 21 m52a
11442mP421cP 4 21 c53a
11542mP4m2P 4 m 233s
11642mP4c2P 4 c 231h
11742mP4b2P 4 b 232h
11842mP4n2P 4 n 233h
11942mI4m2I 4 m 235s
12042mI4c2I 4 c 234h
12142mI42mI 4 2 m34s
12242mI42dI 4 2 d51a
1234/m 2/m 2/mP4/mmmP 4/m 2/m 2/m36s
1244/m 2/m 2/mP4/mccP 4/m 2/c 2/c35h
1254/m 2/m 2/mP4/nbmP 4/n 2/b 2/m36h
1264/m 2/m 2/mP4/nncP 4/n 2/n 2/c37h
1274/m 2/m 2/mP4/mbmP 4/m 21/b 2/m54a
1284/m 2/m 2/mP4/mncP 4/m 21/n 2/c56a
1294/m 2/m 2/mP4/nmmP 4/n 21/m 2/m55a
1304/m 2/m 2/mP4/nccP 4/n 21/c 2/c57a
1314/m 2/m 2/mP42/mmcP 42/m 2/m 2/c60a
1324/m 2/m 2/mP42/mcmP 42/m 2/c 2/m61a
1334/m 2/m 2/mP42/nbcP 42/n 2/b 2/c63a
1344/m 2/m 2/mP42/nnmP 42/n 2/n 2/m62a
1354/m 2/m 2/mP42/mbcP 42/m 21/b 2/c66a
1364/m 2/m 2/mP42/mnmP 42/m 21/n 2/m65a
1374/m 2/m 2/mP42/nmcP 42/n 21/m 2/c67a
1384/m 2/m 2/mP42/ncmP 42/n 21/c 2/m65a
1394/m 2/m 2/mI4/mmmI 4/m 2/m 2/m37s
1404/m 2/m 2/mI4/mcmI 4/m 2/c 2/m38h
1414/m 2/m 2/mI41/amdI 41/a 2/m 2/d59a
1424/m 2/m 2/mI41/acdI 41/a 2/c 2/d58a

Liste des groupes trigonaux

Réseaux de Bravais rhomboédrique et hexagonal
Rhomboédrique
(hR)
Hexagonal
(hP)
Système cristallin trigonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
1433P3P 338s
1443P31P 3168a
1453P32P 3269a
1463R3R 339s
1473P3P 351s
1483R3R 352s
14932P312P 3 1 245s
15032P321P 3 2 144s
15132P3112P 31 1 272a
15232P3121P 31 2 170a
15332P3212P 32 1 273a
15432P3221P 32 2 171a
15532R32R 3 246s
1563mP3m1P 3 m 140s
1573mP31mP 3 1 m41s
1583mP3c1P 3 c 139h
1593mP31cP 3 1 c40h
1603mR3mR 3 m42s
1613mR3cR 3 c41h
1623 2/mP31mP 3 1 2/m56s
1633 2/mP31cP 3 1 2/c46h
1643 2/mP3m1P 3 2/m 155s
1653 2/mP3c1P 3 2/c 145h
1663 2/mR3mR 3 2/m57s
1673 2/mR3cR 3 2/c47h

Liste des groupes hexagonaux

Réseau de Bravais
hexagonal (hP)
Système cristallin hexagonal
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov
1686P6P 649s
1696P61P 6174a
1706P65P 6575a
1716P62P 6276a
1726P64P 6477a
1736P63P 6378a
1746P6P 643s
1756/mP6/mP 6/m53s
1766/mP63/mP 63/m81a
177622P622P 6 2 254s
178622P6122P 61 2 282a
179622P6522P 65 2 283a
180622P6222P 62 2 284a
181622P6422P 64 2 285a
182622P6322P 63 2 286a
1836mmP6mmP 6 m m50s
1846mmP6ccP 6 c c44h
1856mmP63cmP 63 c m80a
1866mmP63mcP 63 m c79a
1876m2P6m2P 6 m 248s
1886m2P6c2P 6 c 243h
1896m2P62mP 6 2 m47s
1906m2P62cP 6 2 c42h
1916/m 2/m 2/mP6/mmmP 6/m 2/m 2/m58s
1926/m 2/m 2/mP6/mccP 6/m 2/c 2/c48h
1936/m 2/m 2/mP63/mcmP 63/m 2/c 2/m87a
1946/m 2/m 2/mP63/mmcP 63/m 2/m 2/c88a

Liste des groupes cubiques

Réseaux de Bravais cubiques
Primitif
(cP)
Centré
(cI)
Faces centrées
(cF)
(221) chlorure de césium. Deux couleurs différentes pour deux types d'atome différents.
Système cristallin cubique
Numéro Groupe ponctuel Symbole abrégé Symbole complet Schoenflies Fedorov Shubnikov Fibrifold
19523P23P 2 359s2o
19623F23F 2 361s1o
19723I23I 2 360s4oo
19823P213P 21 389a1o/4
19923I213I 21 390a2o/4
2002/m 3Pm3P 2/m 362s4
2012/m 3Pn3P 2/n 349h4+o
2022/m 3Fm3F 2/m 364s2
2032/m 3Fd3F 2/d 350h2+o
2042/m 3Im3I 2/m 363s8−o
2052/m 3Pa3P 21/a 391a2/4
2062/m 3Ia3I 21/a 392a4/4
207432P432P 4 3 268s4−o
208432P4232P 42 3 298a4+
209432F432F 4 3 270s2−o
210432F4132F 41 3 297a2+
211432I432I 4 3 269s8+o
212432P4332P 43 3 294a2+/4
213432P4132P 41 3 295a2+/4
214432I4132I 41 3 296a4+/4
21543mP43mP 4 3 m65s2o:2
21643mF43mF 4 3 m67s1o:2
21743mI43mI 4 3 m66s4o:2
21843mP43nP 4 3 n51h4o
21943mF43cF 4 3 c52h2oo
22043mI43dI 4 3 d93a4o/4
2214/m 3 2/mPm3mP 4/m 3 2/m71s4:2
2224/m 3 2/mPn3nP 4/n 3 2/n53h8oo
2234/m 3 2/mPm3nP 42/m 3 2/n102a8o
2244/m 3 2/mPn3mP 42/n 3 2/m103a4+:2
2254/m 3 2/mFm3mF 4/m 3 2/m73s2:2
2264/m 3 2/mFm3cF 4/m 3 2/c54h4−−
2274/m 3 2/mFd3mF 41/d 3 2/m100a2+:2
2284/m 3 2/mFd3cF 41/d 3 2/c101a4++
2294/m 3 2/mIm3mI 4/m 3 2/m72s8o:2
2304/m 3 2/mIa3dI 41/a 3 2/d99a8o/4

Notes et références

  1. parfois noté C1
  2. ou P21/a, P21/n
  3. parfois noté I2/a ou C2/n
  4. ou Pbnm
  5. ou Pnam
  6. ou Ccmm
  7. ou Cmca

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

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