Mantisse

Le terme mantisse, du mot latin féminin mantīsa ou mantissa, signifiant "surplus (en nombre, en poids, en monnaie...), augmentation, supplément, reste, voire familièrement « rabiot », a plusieurs sens en mathématiques.

Définition originelle

Adopté vers 1872 en français, par emprunt à l'allemand die Mantisse[1] des mathématiciens et des géodésiens, le terme mantisse désigne la différence entre le logarithme d'un nombre, et la partie entière de ce logarithme, c'est-à-dire sa partie fractionnaire. Il est utilisé dans les tables de logarithmes (népérien et décimal).

  • Dans le nombre décimal 123,7585, la partie entière est 123 et la mantisse est 0,7585.
  • Dans le nombre décimal négatif - 17,228, la partie entière est -18 et la mantisse est 0,772.

On parle de mantisse et de caractéristique d'un logarithme décimal ou d'un logarithme népérien.

  • Dans log(123,7) = 2,09237, la caractéristique est 2 et la mantisse est 0,09237.
  • Dans ln(123,7) = 4,81786, la caractéristique est 4 et la mantisse est 0,81786.
  • Dans log(0,001237) = - 2,90763 = -3 + 0,09237, la caractéristique est -3 et la mantisse est 0,09237.

La mantisse et la caractéristique d'un logarithme décimal sont en rapport étroit avec l'écriture du nombre initial en notation scientifique : si avec a un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) alors , n est alors la caractéristique et log10(a) la mantisse de log10(x).

C'est certainement l'écriture sous cette forme scientifique qui est à l'origine du glissement de sens du terme mantisse.

Définition relative aux grands nombres exprimés en puissance de 10

La notation scientifique du nombre décimal non nul x, est :

a est un nombre décimal compris entre 1 et 10 (exclu) et n un entier relatif.

Le nombre a est communément appelé la mantisse de x, n est l'exposant de x et le signe de x.

Dans ce contexte, l'usage du terme "mantisse" prête à confusion car c'est plutôt log(a) qui est la mantisse de log|x|. Certains rédacteurs préfèrent l'anglicisme « significande[2] » en référence au terme anglais "significand" utilisé dans la norme internationale IEEE 754 sur l'arithmétique à virgule flottante.

Un grand nombre décimal est connu par la donnée de ces trois valeurs : le signe, le significande (familièrement la mantisse) et l'exposant.

En informatique, la nécessité de trouver une écriture des nombres compatible avec la taille mémoire qu'on lui attribue a privilégié la notation scientifique et l'écriture en virgule flottante.

En astronomie, les grandes distances exprimées en unité de longueur kilomètre, voire en année-lumière, appellent cette écriture condensée. Ainsi, la distance entre la Terre et Proxima du Centaure équivaut à 4 × 1013 km.

Le terme mantisse est également utilisé dans le contexte voisin de la notation ingénieur.

Exemples sur une calculatrice scientifique

Essayons d'obtenir une valeur approchée avec la calculatrice et regardons comment elle se comporte.

  • Avec un nombre A supérieur à 1010 :
    1. Prenons A, le produit de deux entiers grands, 123456 et 654321 (écrire l'opération sur la machine) ;
    2. Lorsqu'on appuie sur la touche Résultat de la calculatrice, celle-ci affiche X = 8,077 × 1010 (ou 8,077...e+10 selon) ;
    3. La mantisse a et l'exposant n sont parfaitement identifiables. a ≈ 8,077 et n = 10. Il faudrait donc écrire X ≈ 8,077 × 1010.
  • Avec un nombre B inférieur à 10−3 :
    1. Prenons B, le quotient d'un entier petit par un grand, 2 et 3421 (écrire l'opération sur la machine) ;
    2. Lorsqu'on appuie sur la touche Résultat de la calculatrice, celle-ci affiche X = 5,846...- 04 (ou 5,846...e-04 selon) ;
    3. La mantisse a et l'exposant n sont parfaitement identifiables. a ≈ 5,846 et n = - 4. Il faudrait donc écrire X ≈ 5,846 × 10−4.

Notes et références

  1. Le mot allemand est l'héritier direct du latin médiéval mantissa.
  2. Voir par exemple à la page 140 de : Introduction au fortran 90/95/2003, Jacques Lefrère, Université Pierre et Marie Curie Paris VI, dernière version (30 octobre 12) en ligne.
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