Nombre de Lah

En mathématiques, les nombres de Lah, établis par Ivo Lah (en), permettent d’exprimer les factorielles croissantes en fonction des factorielles décroissantes et réciproquement.

Définitions

Les nombres de Lah (signés) L(n, k) (suite A008297 de l'OEIS) sont définis[1],[2],[3] par :

avec la factorielle croissante et la factorielle décroissante, d’où :

.

On montre (voir section #Expression directe ci-dessous) que L(n, k) a pour signe (-1)n. De même que pour les nombres de Stirling de première espèce, la notation de Karamata–Knuth désigne la version non signée des nombres de Lah (suite A105278 de l'OEIS) :

,

d’où :

.

Propriétés

Relation inverse

.

Formule de récurrence

avec (symbole de Kronecker).

Expression directe

Pour n>0, .

Donc L(n, k) a pour signe (-1)n, d’où l’expression de .

Involution

avec δn,k le symbole de Kronecker. La matrice des L(n, k) est donc involutive.

Autres propriétés

Les nombres de Lah non signés peuvent s’exprimer en fonction des nombres de Stirling (de première espèce non signés) et (de seconde espèce) :

.

Ils peuvent également s’exprimer en fonction des polynômes de Bell :

.

Notes et références

Références

  1. Lah 1954.
  2. Lah 1955.
  3. Riordan 2002, p. 43–44.

Voir aussi

Bibliographie

  • (en) Ivo Lah, « A new kind of numbers and its application in the actuarial mathematics », Boletim do Instituto dos Actuários Portugueses, Lisbonne, Instituto dos Actuários Portugueses, vol. 9, , p. 7–15 (ISSN 0443-4986, résumé).
  • (de) Ivo Lah, « Eine neue Art von Zahlen, ihre Eigenschaften und Anwendung in der mathematischen Statistik », Mitteilungsblatt für Mathematische Statistik, Wurtzbourg, Physica-Verlag, vol. 7, , p. 203–212 (ISSN 0176-5531).
  • (en) John Riordan, Introduction to Combinatorial Analysis, Dover Publications, (1re éd. 1958) (ISBN 978-0-486-42536-8).

Articles connexes

  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.