Nombre de Mersenne premier

En mathématiques et plus précisément en arithmétique, les nombres de Mersenne sont les nombres de la forme : une puissance de 2 moins 1. Ils constituent la suite d'entiers

[1]
Le moine français Marin Mersenne (1588-1648).

Ces nombres doivent leur nom à un religieux érudit et mathématicien français du XVIIe siècle, Marin Mersenne.

Un nombre premier de Mersenne[2], ou nombre de Mersenne premier, est un nombre qui est à la fois de Mersenne et premier. Pour que le n-ième nombre de Mersenne Mn soit premier, il est nécessaire — mais non suffisant — que son indice n le soit. Par exemple, M4 n'est pas premier puisque 4 ne l'est pas (24 – 1 = 15 = 3 × 5), et M11 n'est pas premier non plus bien que 11 le soit : M11 = 211 – 1 = 2 047 = 23×89.

La sous-suite des nombres de Mersenne premiers est généralement notée M1,..., Mn. Les plus petits nombres de Mersenne premiers sont donc :

  • ;
  • ;
  • ;
  • ;

Propriétés des nombres de Mersenne

Les nombres de Mersenne ont les propriétés suivantes :

  • Ils constituent la suite de Lucas U(3, 2) (la suite des répunits en base 2).
  • Par conséquent, pgcd(Mm, Mn) = Mpgcd(m,n) (pour tout m, n > 0). En particulier si m divise n alors Mm divise Mn. Donc si n n'est pas premier alors Mn n'est pas premier. Ainsi, lorsqu'on cherche des nombres de Mersenne premiers, on sait déjà qu'il faut se limiter à des Mp avec p premier. Il faut ensuite affûter les critères de sélection des nombres premiers p. remarque : on peut aussi plus simplement utiliser le théorème cité par Hardy[3]: théorème: si n>1 et an-1 est premier, alors a=2 et n est premier. (car si a>2 alors a-1 divise an-1; et si a=2 et n=kl alors 2k-1 divise 2n-1.)
  • Tous les nombres de Mersenne Mn ≥ 7, premiers ou composés, sont des nombres brésiliens car Mn = (111...111)2 avec n fois la présence du chiffre 1 dans l'écriture en base 2. Le nombre 7 est d'ailleurs le plus petit nombre brésilien.
  • D'après le test de primalité de Lucas-Lehmer pour les nombres de Mersenne, pour un nombre premier p impair, Mp est premier si et seulement si Mp divise Sp–1, où S1 = 4 et pour k ≥ 1, Sk+1 = Sk2 – 2.
  • Si a divise Mp avec p premier impair alors :
  • Un théorème d'Euler entraîne que pour q premier supérieur ou égal à 5, Mq est premier si et seulement s'il existe un unique couple (x, y) tel que Mq =(2x)2 + 3(3y)2. Bas Jansen[4] a étudié Mq = x2 + dy2 pour d compris entre 0 et 48.
  • Soit q ≡ 3 (mod 4) premier. Alors, 2q + 1 est aussi premier si et seulement s'il divise Mq[5].
  • Ramanujan a conjecturé (en 1913) que l'équation Mq = 6 + x2 n'a que cinq solutions : q = 3, 4, 5, 7 ou 15, ce qui fut démontré par Trygve Nagell en 1948 : voir « Équation de Ramanujan-Nagell ».
  • La constante d'Erdős-Borwein , définie comme la somme de la série des inverses des nombres de Mersenne (non nécessairement premiers), est irrationnelle[6].

Historique

Les nombres premiers de Mersenne sont liés aux nombres parfaits, qui sont les nombres « égaux à la somme de leurs diviseurs stricts ». C'est cette connexion qui a motivé historiquement l'étude des nombres premiers de Mersenne. Dès le IVe siècle av. J.-C., Euclide démontrait que si M = 2p – 1 est un nombre premier, alors M(M + 1)/2 = 2p–1(2p – 1) est un nombre parfait. Deux millénaires plus tard, au XVIIIe siècle, Euler prouvait que tous les nombres parfaits pairs ont cette forme. Aucun nombre parfait impair n'est connu.

Si Mn est premier alors n aussi. Marin Mersenne, moine de l'ordre des Minimes au début du XVIIe siècle, est l'auteur de cette proposition qu'il aurait par ailleurs démontrée[7][Information douteuse],[8]. Il fournit aussi une liste des nombres premiers « de Mersenne » jusqu’à l'exposant 257, qui se révélera fausse : elle incluait par erreur 67 et 257, et omettait 61, 89 et 107[9].

La réciproque est fausse : Mp peut être composé alors que p est premier ; le plus petit contre-exemple est M11 = 2047 = 23×89 : 11 est premier mais M11 ne l'est pas, comme rappelé encore en 1732 par Euler[10], qui mentionne, que c'est également le cas pour p = 23, 83, 131, 179, 191 et 239[10].

Pour que Mn soit premier, il faut que n soit premier, ce qui simplifie déjà la recherche de nombres de Mersenne premiers. Pour tester si un nombre de Mersenne Mp (avec p premier) est premier, il existe une méthode comparativement très rapide, développée à l'origine par Édouard Lucas en 1878 et améliorée par Derrick Lehmer dans les années 1930. C'est grâce à ce test exceptionnellement simple comparativement à la taille des nombres considérés que depuis longtemps les plus grands nombres premiers connus sont des nombres premiers de Mersenne.

Les quatre premiers nombres premiers de Mersenne étaient connus dès l'Antiquité. Le cinquième (213 – 1) a été découvert avant 1461 par un inconnu. Les deux suivants ont été trouvés par Pietro Cataldi en 1588. Plus d'un siècle plus tard, en 1750, Euler en trouva encore un. Le suivant dans l'ordre chronologique (mais non numérique) a été trouvé par Lucas en 1876, puis un par Ivan Pervouchine en 1883. Deux autres ont été trouvés au début du XXe siècle par R. E. Powers (en) en 1911 et en 1914.

La recherche pour les nombres premiers de Mersenne fut révolutionnée par l'introduction des calculateurs électroniques. La première identification d'un nombre de Mersenne par ce moyen eut lieu à 22 heures le par un ordinateur SWAC à l'Institut d'Analyse Numérique (Institute for Numerical Analysis) du campus de l'université de Californie à Los Angeles, sous la direction de Derrick Lehmer, avec un programme écrit par Raphael Robinson.

C'était le premier nombre premier de Mersenne identifié depuis 38 ans. Le suivant fut trouvé moins de deux heures plus tard par le même ordinateur, qui en trouva trois de plus dans les mois suivants.

En décembre 2018, 51 nombres premiers de Mersenne étaient connus, le plus grand étant M82 589 933, qui est aussi à la même date le plus grand nombre premier connu[11]. Comme plusieurs de ses prédécesseurs, il a été découvert par un calcul distribué sous l'égide du projet GIMPS, Great Internet Mersenne Prime Search (qui signifie « grande recherche par Internet de nombres premiers de Mersenne »).

Liste des nombres de Mersenne premiers

On ne sait pas si l'ensemble des nombres de Mersenne premiers est fini ou infini (mais on conjecture qu’il est infini). En décembre 2018, 51 nombres de Mersenne premiers étaient connus[12] (suites A000043 (p) et A000668 (Mp)).

Historiquement, ils n'ont pas toujours été découverts par ordre croissant (exemples : M12, M29...).

Liste des nombres premiers de Mersenne connus[13]
Mn p Mp Valeur de Mp en base dix Nombre
de chiffres
en base dix
Date de découverte Découvreur(s)
M1 2M231Antiquitéremarqué
(en tant que nombre premier)
par les mathématiciens grecs
M2 3M371
M3 5M5312
M4 7M71273
M5 13M138 1914Moyen Âge (XIIIe siècle)Ibn Fallus (1194-1239)
M6 17M17131 07161588Cataldi
M7 19M19524 28761588Cataldi
M8 31M312 147 483 647101750Euler
M9 61M612 305 843 009 213 693 951191883Pervouchine
M10 89M89618970019…449562111271911Powers (en)
M11 107M107162259276…010288127331914Powers[14]
M12 127M127170141183…884105727391876Lucas
M13 521M521686479766…11505715115730 janvier 1952Robinson (SWAC)
M14 607M607531137992…03172812718330 janvier 1952Robinson (SWAC)
M15 1 279M1279104079321…16872908738625 juin 1952Robinson (SWAC)
M16 2 203M2203147597991…6977710076647 octobre 1952Robinson (SWAC)
M17 2 281M2281446087557…1328363516879 octobre 1952Robinson (SWAC)
M18 3 217M3217259117086…9093150719698 septembre 1957Riesel (BESK (en))
M19 4 253M4253190797007…3504849911 2813 novembre 1961Hurwitz (IBM)
M20 4 423M4423285542542…6085806071 3323 novembre 1961Hurwitz (IBM)
M21 9 689M9689478220278…2257541112 91711 mai 1963Gillies (en) (ILLIAC II)
M22 9 941M9941346088282…7894635512 99316 mai 1963Gillies (ILLIAC II)
M23 11 213M11213281411201…6963921913 3762 juin 1963Gillies (ILLIAC II)
M24 19 937M19937431542479…9680414716 0024 mars 1971Tuckerman (en) (IBM)
M25 21 701M21701448679166…5118827516 53330 octobre 1978Noll (en) et Nickel (CDC)
M26 23 209M23209402874115…7792645116 9879 février 1979Noll (CDC)
M27 44 497M44497854509824…01122867113 3958 avril 1979Nelson (en) et Slowinski (en)
(Cray Research)
M28 86 243M86243536927995…43343820725 96225 septembre 1982Slowinski (Cray)
M29 110 503M110503521928313…46551500733 26528 janvier 1988Colquitt et Welsh (NEC)
M30 132 049M132049512740276…73006131139 75119 septembre 1983Slowinski (Cray)
M31 216 091M216091746093103…81552844765 0501er septembre 1985Slowinski (Cray)
M32 756 839M756839174135906…544677887227 83219 février 1992Slowinski et Gage
M33 859 433M859433129498125…500142591258 71610 janvier 1994Slowinski et Gage
M34 1 257 787M1257787412245773…089366527378 6323 septembre 1996Slowinski et Gage
M35 1 398 269M1398269814717564…451315711420 92113 novembre 1996GIMPS / Joel Armengaud
M36 2 976 221M2976221623340076…729201151895 93224 août 1997GIMPS / Gordon Spence
M37 3 021 377M3021377127411683…024694271909 52627 janvier 1998GIMPS / Roland Clarkson
M38 6 972 593M6972593437075744…9241937912 098 9601er juin 1999GIMPS / Nayan Hajratwala
M39 13 466 917M13466917924947738…2562590714 053 94614 novembre 2001GIMPS / Michael Cameron
M40[15] 20 996 011M20996011125976895…8556820476 320 43017 novembre 2003GIMPS / Michael Shafer
M41[16] 24 036 583M24036583299410429…7339694077 235 73315 mai 2004GIMPS / Josh Findley
M42[17] 25 964 951M25964951122164630…5770772477 816 23018 février 2005[18]GIMPS / Martin Nowak
M43[19] 30 402 457M30402457315416475…6529438719 152 05215 décembre 2005GIMPS / Cooper et Boone
M44[20] 32 582 657M32582657124575026…0539678719 808 3584 septembre 2006GIMPS / Cooper et Boone
M45[21] 37 156 667M37156667202254405…30822092711 185 2726 septembre 2008GIMPS / Elvenich
M46[22] 42 643 801M42643801169873516…56231475112 837 06412 avril 2009GIMPS / Odd Magnar Strindmo
M47[23] 43 112 609M43112609316470269…69715251112 978 18923 août 2008GIMPS / Smith
M48 ?[12] 57 885 161M57885161581887266…72428595117 425 17025 janvier 2013GIMPS / Cooper
M49 ?[12] 74 207 281M74207281300376418…08643635122 338 6187 janvier 2016GIMPS / Cooper
M50 ?[11] 77 232 917M77232917467333183...76217907123 249 4253 janvier 2018GIMPS / Jonathan Pace
M51 ?[24] 82 589 933M82589933148894445...21790259124 862 0487 décembre 2018GIMPS / Patrick Laroche

Liste de nombres de Mersenne non premiers

Les neuf plus petits nombres de Mersenne non premiers mais d'indices premiers (venant s'intercaler entre les 1er et 9e nombres de Mersenne premiers, connus à la fin du XIXe siècle) sont les suivants :

No  p Mp Valeur de Mp
en base dix
Nombre de
chiffres
en base dix
Décomposition
1 11M112 047423 × 89
2 23M238 388 607747 × 178 481
3 29M29536 870 9119233 × 1 103 × 2 089
4 37M37137 438 953 47112223 × 616 318 177
5 41M412 199 023 255 5511313 367 × 164 511 353
6 43M438 796 093 022 20713431 × 9 719 × 2 099 863
7 47M47140 737 488 355 327152 351 × 4 513 × 13 264 529
8 53M539 007 199 254 740 991166 361 × 69 431 × 20 394 401
9 59M59576 460 752 303 423 48718179 951 × 3 203 431 780 337

Le nombre M67, égal à 147 573 952 589 676 412 927, figurait dans la liste originelle de Mersenne ; cependant, Lucas montra en 1876 que ce nombre n'était pas premier, sans toutefois pouvoir exhiber ses facteurs. La factorisation de ce nombre (193 707 721 x 761 838 257 287) fut déterminée par Frank Nelson Cole en 1903[25].

Généralisations

Les nombres premiers de Solinas[26] sont les nombres premiers de la forme p = f(2k) où f est un polynôme unitaire à coefficients entiers[27] de faible « poids de réduction modulaire » (une condition technique destinée à ce que les calculs de réduction modulo p soient rapides et qui, pour simplifier, est parfois remplacée par : les coefficients non nuls de f sont peu nombreux et valent ±1[28],[29],[30]). Solinas[26] donne une série d'exemples, dont le premier est f(t) = t – 1, de « poids » 1 (qui correspond aux nombres de Mersenne) et le dernier est f(t) = t4t3 + t2 + 1, de « poids » 4, mais qui inclut aussi f(t) = tdtd–1 + td–2 – … + (–1)d, de « poids » 3.

Références

  1. (en) Eric W. Weisstein, « Mersenne Number », sur MathWorld.
  2. (en) Eric W. Weisstein, « Mersenne Prime », sur MathWorld.
  3. (en) G.H. Hardy et E.M. Wright, An introduction to the theory of numbers, University Press, Oxford, Oxford at the Clarendon Press, (ISBN 0198533101), p.15
  4. (en) B. Jansen, On Mersenne primes of the form x2 + d.y2 (2002) thèse.
  5. Chris Caldwell, « Proof of a result of Euler and Lagrange on Mersenne Divisors », sur Prime Pages' list of proofs.
  6. (en) P. Erdős, « On arithmetical properties of Lambert series », J. Indian Math. Soc., vol. 12, , p. 63–66 (lire en ligne).
  7. Roger Beslan, Daniel Lignon, Les maths : cent théorèmes, Le Polygraphe éditeur, 2008, 176 pages. Illustrations : Pascal Jousselin (ISBN 978-2-909051-38-3).
  8. Voir cependant (en) Leonard Eugene Dickson, History of the Theory of Numbers (en) [détail des éditions], vol. 1, p. 12, note 59.
  9. (en) Raymond Clare Archibald (en), « Mersenne's Numbers », Scripta Mathematica, vol. 3, , p. 112-119 (lire en ligne).
  10. E26, informations sur la publication.
  11. (en) « GIMPS Project Discovers Largest Known Prime Number: 282 589 933-1 », sur GIMPS, .
  12. On ne sait pas s'il existe ou non un ou plusieurs autres nombres de Mersenne premiers, entre le 47e (M43 112 609) et le 49e (M74 207 281). Dans cet intervalle, le classement est donc provisoire. Néanmoins, tous les exposants inférieurs au 50e ont été testés au moins une fois ; il est donc probable que le classement est exact. Notons que le 29e nombre premier de Mersenne fut découvert après le 30e et le 31e, de même que M43 112 609 fut découvert quinze jours avant M37 156 667, plus petit. De même le 46e (M42 643 801) a été découvert neuf mois après le 47e (M43 112 609).
  13. (en) « List of Known Mersenne Prime Numbers », sur GIMPS.
  14. (en) Chris Caldwell, « M107: Fauquembergue or Powers? », sur Prime Pages.
  15. Prouvé le 11 juillet 2010 comme étant bien le 40e, c'est-à-dire qu'il n'y pas d'autre nombre de Mersenne entre le 39e et celui-ci — voir (en) « Older and lower profile GIMPS Milestones ».
  16. Prouvé le premier décembre 2011 comme étant bien le 41e. Voir GIMPS Milestones.
  17. Prouvé le 20 décembre 2012 comme étant bien le 42e. Voir GIMPS Milestones.
  18. (en) Eric W. Weisstein, « 42nd Mersenne Prime Found », sur MathWorld Headline News, .
  19. Prouvé le 23 février 2014 comme étant bien le 43e. Voir GIMPS Milestones.
  20. Prouvé le 8 novembre 2014 comme étant bien le 44e. Voir GIMPS Milestones.
  21. Prouvé le 2 septembre 2016 comme étant bien le 45e. Voir GIMPS Milestones.
  22. Prouvé le 22 février 2018 comme étant bien le 46e. Voir GIMPS Milestones.
  23. Prouvé le 8 avril 2018 comme étant bien le 47e. Voir GIMPS Milestones.
  24. https://www.mersenne.org/primes/?press=M82589933
  25. N Gridgeman, « The search for perfect numbers », New Scientist, no 334, , p. 86–88 (lire en ligne)
  26. (en) Jerome A. Solinas, « Generalized Mersenne numbers — Technical Report CORR 99-39 », Center for Applied Cryptographic Research, University of Waterloo, .
  27. La suite A165255 de l'OEIS, créée en septembre 2009 à la suite d'une interprétation hâtive (sur Wikipédia en anglais) de l'article de Solinas, donne, sous le nom de « Solinas primes », une liste de nombres premiers de la forme 2a ± 2b ± 1, où 0 < b < a. Cette définition est reprise dans des publications ultérieures.
  28. (en) N. Koblitz et A. Menezes (en), « Cryptography at high security levels », dans Nigel Paul Smart, Cryptography and Coding: 10th IMA International Conference Proceedings, Springer, (lire en ligne), p. 13-36.
  29. (en) José de Jesús Angel Angel et Guillermo Morales-Luna, « Counting Prime Numbers with Short Binary Signed Representation », sur IACR Cryptology ePrint Archive, .
  30. Ou encore : « f(t) is a low-degree polynomial with small integer coefficients », (en) J. A. Solinas, « Generalized Mersenne Prime », dans Encyclopedia of Cryptography and Security, , 2e éd. (1re éd. 2005), p. 509-510.

Voir aussi

Articles connexes

Liens externes

  • Arithmétique et théorie des nombres
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