Nombre palindrome

Un nombre palindrome est un nombre symétrique écrit dans une certaine base a comme ceci : .

Pour les articles homonymes, voir Palindrome (homonymie).

Palindromes en base 10

Tous les nombres en base 10 d'un chiffre {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} sont palindromes. Il existe neuf nombres palindromes à deux chiffres :

{11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99}.

Il existe 90 nombres palindromes de trois chiffres :

{101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, ..., 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999}

et aussi 90 nombres palindromes de quatre chiffres :

{1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999},

donc, il existe 199 nombres palindromes inférieurs à 104. Il existe 1 099 nombres palindromes inférieurs à 105 et pour les autres exposants de 10n, nous avons : 1 999,10 999,19 999,109 999,199 999,1 099 999, ... (suite A070199 de l'OEIS). Pour certains types de nombres palindromes, ces valeurs sont indiquées dans la table ci-dessous. Ici, 0 est inclus.

101 102 103104 105 106107 108 1091010
n naturel 101910919910991999 1099919999109999199999
n pair 59498948988948898889 4888988889
n impair 510601106101110611011110 61110111110
n carré parfait 4714 152031
n premier 4520 113781 5953
n sans carré 612671206751200682112160 ++
n avec carré (μ(n)=0) 364178423+++ ++
n carré avec racine première 235
n avec un nombre pair de facteurs premiers distincts (μ(n)=1) 263556324+++ ++
n avec un nombre impair de facteurs premiers distincts (μ(n)=-1) 573365352+++ ++
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers
n pair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 12921100+++ ++
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers 011237204+++ ++
n impair avec un nombre impair de facteurs premiers distincts 00424139+++ ++
n pair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 12111598+++ ++
n impair sans-carré avec un nombre pair de facteurs premiers distincts 142441226+++ ++
n impair avec exactement deux facteurs premiers 142539205+++ ++
n pair avec exactement deux facteurs premiers 231164+ ++++
n pair avec exactement trois facteurs premiers 131424122+++ ++
n pair avec exactement trois facteurs premiers distincts
n impair avec exactement trois facteurs premiers 011234173+++ ++
n nombre de Carmichael 000001+++ ++
n pour lequel σ(n) est palindrome 61047114688+++ ++

Buckminster Fuller a qualifié les nombres palindromes « nombres de Schéhérazade » dans son livre Synergetics, parce que Schéhérazade était le nom de la femme qui contait, dans Les Mille et Une Nuits.

Des additions ayant un palindrome pour résultat

Prenez un nombre au hasard. Additionnez-le avec son symétrique en lecture. Selon le nombre, en appliquant successivement le même processus au résultat, on peut obtenir un palindrome.

1234 + 4321 = 5555, c'est un palindrome. Autre exemple : 149 + 941 = 1090 ; 1090 + 0901 = 1991, on obtient un palindrome en deux étapes.

On ne connait pas, bien que l'on en soupçonne l'existence, de nombres pour lesquels ce processus d'addition par le nombre symétrique ne donnerait pas de palindrome. De tels nombres sont appelés Nombre de Lychrel.

Des multiplications ayant un palindrome pour résultat

12 multiplié par 21 donne 252.

111 111 111 multiplié par 111 111 111 donne 12 345 678 987 654 321.

Propriété

Les nombres palindromes de taille paire sont multiples de 11.

En effet, la relation entraîne que . Donc, quand on calcule le reste modulo 11 d'un nombre palindrome de taille paire, ses chiffres s'annulent 2 à 2.

Ainsi 172271 est congru modulo 11 à 1-7+2-2+7-1 = 0, donc est divisible par 11.

Définition formelle

Bien que les nombres palindromes soient le plus souvent représentés dans le système décimal, le concept de palindromicité peut être appliqué aux entiers naturels dans n'importe quel système de numération. Considérons un nombre n > 0 en base b ≥ 2, où il est écrit en notation standard avec k+1 chiffres tel que :

avec 0  ai < b pour tout i et ak  0. Alors n est un nombre palindrome si et seulement si ai = aki pour tout i.

Bases autres que 10

Les nombres palindromes peuvent être considérés dans d'autres systèmes de numération que décimale. Par exemple, les nombres palindromes binaires sont :

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001,

ou en décimal : 0, 1, 3, 5, 7, 9, 15, 17, 21, 27, 31, 33, … suite A006995 de l'OEIS. Les nombres premiers de Fermat et de Mersenne forment un sous-ensemble des premiers palindromes binaires. Tous les nombres sont palindromes dans un nombre infini de bases. Mais, il est plus intéressant de considérer des bases plus petites que le nombre lui-même - auquel cas la plupart des nombres sont palindromes dans plus d'une base, par exemple, , . En base 18, certaines puissances de sept sont palindromes :

70 = 1
71 = 7
73 = 111
74 = 777
76 = 12321
79 = 1367631

Et dans la base 24, les huit premières puissances de cinq sont palindromes :

50 = 1
51 = 5
52 = 11
53 = 55
54 = 121
55 = 5A5
56 = 1331
57 = 5FF5
58 = 14641
5A = 15AA51
5C = 16FLF61

Tout nombre n est palindrome dans toutes les bases b avec bn + 1 (car n est alors un nombre à un seul chiffre), mais aussi dans la base n - 1 (car n est alors 11n - 1). Un nombre non palindrome dans toutes les bases 2 ≤ b < n - 1 est appelé un nombre strictement non palindrome.

Nombres palindromes dans plusieurs bases

Certains nombres sont palindromes dans plus d'une base de numération. Par exemple 6643 est le plus petit nombre à la fois palindrome en base 2 et en base 3[1].

Propriétés des nombres palindromes

  • La série des inverses des nombres palindromes est convergente[1] vers un nombre légèrement supérieur à 3,37 et qui est étudié dans la séquence A118031.
  • Pour toute base de numération supérieure ou égale à 5, tout entier est somme d'au plus 3 nombres palindromes, cette borne est optimale car il existe pour toute base supérieure ou égale à 2 une infinité d'entiers qui ne sont pas somme de deux nombres palindromes (en base 10, c'est par exemple le cas de 21)[1].

Références

  1. Jean-Paul Delahaye, « 121, 404 et autres nombres palindromes », Pour la science, no 480, , p. 80-85

Voir aussi

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Palindromic number » (voir la liste des auteurs).

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, « 121, 404 et autres nombres palindromes », Pour la science, no 480, , p. 80-85

Articles connexes

Liens externes

  • Arithmétique et théorie des nombres
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.