Nombre univers

Un nombre univers est un nombre réel dans les décimales duquel on peut trouver n'importe quelle succession de chiffres de longueur finie, pour une base donnée. Ainsi, si l'on se donne une manière de coder un livre selon une suite de chiffres (ce qui est le cas dans un format informatique), on trouvera dans un nombre univers tous les livres déjà écrits et à venir. Mais on ne peut bien sûr pas en tirer une quelconque information : ce serait aussi efficace que de générer une succession aléatoire de lettres et de réessayer jusqu'à obtenir le livre que l'on cherche, et cela suppose de le connaître déjà lettre par lettre.

Définitions

Une suite univers en base 10 est une suite de chiffres (de 0 à 10) telle toute suite finie de chiffres apparait comme sous-suite formée de termes consécutifs (que nous désignerons par séquence).

Un nombre univers en base 10 est un réel dont la suite des décimales est une suite univers.

Ces définitions peuvent se donner en base quelconque, en particulier en base 2.

Exemples

Une série d'exemples est donnée par les nombres normaux dont la définition est plus forte que celle des nombres univers ; dans un nombre normal, on exige que chaque séquence apparaisse une infinité de fois selon une statistique équirépartie ; l'exemple le plus simple de nombre normal en base 10, donc univers en base 10 est la constante de Champernowne ). Un exemple moins évident est donné par la constante de Copeland-Erdős , obtenue en concaténant les nombres premiers écrits en base 10.

Un exemple de nombre univers en base dix mais qui n'est pas normal est donné par le nombre obtenue en intercalant un 0 entre chaque entier : la fréquence des 0 y est supérieure à celle des autres chiffres.

Le nombre réel .. obtenu en concaténant les puissances de 2 est un autre exemple de nombre univers en base dix[1].

Comme c'est le cas pour la quasi-totalité des nombres réels, on pense que les constantes irrationnelles « naturelles », comme π et 2, sont des nombres normaux[2] et donc des nombres univers, mais on ne sait le prouver pour aucune.

Propriétés

Bien qu'on ne connaisse pas de nombre univers en toute base, on sait que leur ensemble "remplit" l'ensemble des réels, à la fois au sens de la mesure de Lebesgue et au sens de Baire. En effet, son complémentaire est σ-poreux, donc à la fois négligeable et maigre[3].

Notes et références

  1. Gale 1998 donne une démonstration, et cite un programme de cinq lignes de Stephan Heilmayr écrit en langage Mathematica qui donne le plus petit exposant de 2 voulu quand on entre la séquence recherchée.
  2. (en) Are the digits of Pi random?
  3. (en) C. S. Calude et T. Zamfirescu, « Most numbers obey no probability laws », Publ. Math. Debrecen, vol. 54 (Supplement), , p. 619-623 (lire en ligne).

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

  • Jean-Paul Delahaye, « Les nombres univers », Pour la science, no 225, , p. 104-107 (lire en ligne)
  • Jean-Paul Delahaye, « Les nombres-univers jouent aux combinaisons », Jeux mathématiques et mathématiques des jeux, , p. 51-56
  • (en) David Gale, Tracking the Automatic ANT And Other Mathematical Explorations, , p. 42-43
  • Portail des mathématiques
  • Arithmétique et théorie des nombres
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