Partition d'un ensemble

Une partition d'un ensemble X est un ensemble de parties non vides de X deux à deux disjointes et dont l'union est X.

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En particulier en mathématiques, ne pas confondre avec la notion de partition d'un entier, ni celle de partition de l'unité.

Définition

Soit un ensemble X. Un ensemble de parties de X est une partition de X si :

  • aucune de ces parties n'est vide ;
  • leur union est égale à X ;
  • elles sont deux à deux disjointes.

Exemples

L'ensemble {1, 2, 3} a les partitions suivantes :

  • { {1}, {2}, {3} } ;
  • { {1, 2}, {3} } ;
  • { {1, 3}, {2} } ;
  • { {1}, {2, 3} } ;
  • et { {1, 2, 3} }.

Remarquons que :

  • { ∅, {1, 3}, {2} } n'est pas une partition parce qu'elle contient l'ensemble vide ∅ ;
  • { {1, 2}, {2, 3} } n'est pas une partition parce que l'élément 2 appartient à plus d'une partie ;
  • { {1}, {2} } n'est pas une partition de {1, 2, 3} car l'union de tous les éléments est {1, 2} ; c'est une partition de {1, 2}.

Dans le cas où tous les éléments de la partition ont même cardinal, on retrouve le lemme des bergers.

La partition vide est une partition de l'ensemble vide (c'est d'ailleurs la seule) puisque tous ses éléments (il n'y en a aucun) ont toutes les propriétés souhaitables (ici : être non vides et disjoints) et que leur union est vide (par définition).

Partitions et relations d'équivalence

Si une relation d'équivalence est donnée sur l'ensemble X, alors l'ensemble de toutes les classes d'équivalence forme une partition de X. Inversement, si une partition P de X est donnée, alors nous pouvons définir une relation d'équivalence sur X notée ~, par x ~ y si et seulement s’il existe, parmi les éléments de P, une partie de X qui contient à la fois x et y. Les notions de relation d'équivalence et de partition sont donc fondamentalement équivalentes.

Ordre partiel sur les partitions

L'ensemble de toutes les partitions d'un ensemble non vide X est partiellement ordonné : par définition, une partition est plus fine qu'une autre si elle fractionne les éléments de l'autre en de plus petites parties. Cet ordre partiel forme un treillis complet dont le plus petit élément (la partition la moins fine) est la partition grossière en une seule partie (X) et le plus grand (la partition la plus fine) est la partition en singletons.

Nombre de partitions d'un ensemble fini

Le nombre de Bell, Bn, est le nombre de partitions d'un ensemble à n éléments.

Le nombre de partitions différentes d'un ensemble à n éléments indiscernables est le nombre de partitions d'un entier.

Le nombre de ses partitions en exactement k sous-ensembles est le nombre de Stirling de seconde espèce S(n, k).

Partitions par paire

  • Le nombre de partitions par paires d'un ensemble à 2n éléments est égal à (2n)!/(2nn!).
  • Tout ensemble infini admet au moins une partition par paire (si l'on suppose vrai l'axiome du choix).[réf. nécessaire]
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