Polynôme de Bernoulli

En mathématiques, les polynômes de Bernoulli apparaissent dans l'étude de beaucoup de fonctions spéciales et en particulier, la fonction zêta de Riemann ; des polynômes analogues, correspondant à une fonction génératrice voisine, sont connus sous le nom de polynômes d'Euler.

Polynômes de Bernoulli

Définition

Les polynômes de Bernoulli sont l'unique suite de polynômes telle que :

Fonctions génératrices

La fonction génératrice pour les polynômes de Bernoulli est

.

La fonction génératrice pour les polynômes d'Euler est

.

Les nombres d'Euler et de Bernoulli

Les nombres de Bernoulli sont donnés par .

Les nombres d'Euler sont donnés par .

Expressions explicites pour les petits ordres

Les premiers polynômes de Bernoulli sont :

Les quelques premiers polynômes d'Euler sont :

Propriétés des polynômes de Bernoulli

Différences

Les polynômes de Bernoulli et d'Euler obéissent à beaucoup de relations du calcul ombral utilisé par Édouard Lucas, par exemple.

Dérivées

Translations

Symétries

Autres propriétés

Cette dernière égalité, déduite de la formule de Faulhaber, vient de l'égalité : ou, plus simplement, de la somme télescopique

.

Valeurs particulières

Les nombres sont les nombres de Bernoulli.

Les nombres de Bernoulli de rang impair différent de 1 sont nuls :

Série de Fourier

La série de Fourier des polynômes de Bernoulli est aussi une série de Dirichlet, donnée par le développement[1] :

,

valide seulement pour 0 ≤ x ≤ 1 lorsque n ≥ 2 et pour 0 < x < 1 lorsque n = 1.

C'est un cas particulier de la formule de Hurwitz.

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « Bernoulli polynomials » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Tsuneo Arakawa, Tomoyoshi Ibukiyama et Masanobu Kaneko, Bernoulli Numbers and Zeta Functions, Springer, (lire en ligne), p. 61.

Voir aussi

Bibliographie

Articles connexes

  • Portail des mathématiques
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.