Processus ponctuel

En probabilité et statistique, un processus ponctuel est un type particulier de processus stochastique pour lequel une réalisation est un ensemble de points isolés du temps et/ou de l'espace. Par exemple, la position des arbres dans une forêt peut être modélisée comme la réalisation d'un processus ponctuel.

Les processus ponctuels sont des objets très étudiés en probabilité et en statistique pour représenter et analyser des données spatialisées qui interviennent dans une multitude de domaines telle que l'écologie, l'astronomie, l'épidémiologie, la géographie, la sismologie, les télécommunications, la science des matériaux, et beaucoup d'autres.

Le cas particulier des processus ponctuels sur la droite réelle est très étudié, la connaissance de la distance entre deux points consécutifs caractérisant le processus. Ce type de processus ponctuel est très utilisé pour modéliser des événements aléatoires dans le temps, tel que l'arrivée d'un client (théorie des files d'attentes), l'impulsion d'un neurone...

Théorie des processus ponctuels

En mathématiques, un processus ponctuel est un élément aléatoire dont les valeurs sont des motifs de points, c'est-à-dire des « collections » de points sur un ensemble .

Il est possible de généraliser en définissant un motif de points comme étant une mesure de comptage localement finie.

Définition

Soit un espace métrique localement compact équipé de sa tribu borélienne . On note l'ensemble des motifs de points de , c'est-à-dire l'ensemble des sous-ensembles localement finis de . Un élément de sera appelé "configuration" et sera noté .

On munit de la tribu [1],[2],[3] engendrée par les applications de comptage  : , où B est un compact de et où désigne le cardinal de l'ensemble fini considéré.

Un processus ponctuel est alors une application mesurable d'un espace de probabilité vers l'espace mesuré .

L'exemple le plus commun d'espace est l'espace euclidien ou un de ses sous-espaces. Mais les processus ponctuels ne sont pas limités à ces exemples.

Mesure intensité

La mesure intensité du processus est une mesure sur qui mesure le nombre moyen de points du processus qui tombe dans un borélien de , et s'écrit pour , .

Fonctionnelle de Laplace

La fonctionnelle de Laplace[3] d'un processus ponctuel , noté , est une fonctionnelle de l'ensemble de toutes les fonctions positives de dans et est définie comme suit:

Cette fonctionnelle joue un rôle similaire à la fonction caractéristique d'une variable aléatoire. En effet la fonctionnelle de Laplace caractérise la loi d'un processus ponctuel, c'est-à-dire que deux processus ponctuels qui ont des fonctionnelles de Laplace égales ont la même loi.

Théorème de Rényi : Caractérisation par les probabilités de vide

Compte tenu de la structure de la tribu sur , la loi d'un processus ponctuel est entièrement déterminée par les probabilités parcours l'ensemble des entiers naturels et l'ensemble des boréliens bornés de . Mais le théorème de Rényi nous donne une caractérisation beaucoup plus simple.

Théorème de Rényi   Si l'espace est séparable complet, alors la loi d'un processus ponctuel est entièrement déterminée par les probabilités de vide (void probabilities en anglais), c'est-à-dire par la famille , où parcours l'ensemble des boréliens bornés.

Processus ponctuel de Poisson

Le processus ponctuel de Poisson est le plus simple et le plus universel des processus ponctuels. C'est une généralisation spatiale du processus de Poisson utilisé en théorie des files d'attentes.

Définition d'un processus ponctuel de Poisson   Soit une mesure non-atomique sur . Un processus ponctuel est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité si, pour toutes familles de boréliens bornés disjoints et pour tous entiers naturels ,

Propriétés des processus ponctuels de Poisson

Cette section regroupe les propriétés fondamentales des processus ponctuels de Poisson. Ces résultats sont souvent la conséquence du théorème de Rényi.

Proposition (Superposition de deux processus ponctuels de Poisson)[1],[3]   Soient et deux processus ponctuels de Poisson de mesures d'intensité et . Alors la superposition des deux processus est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité .

Proposition (Amincissement (thinning) d'un processus ponctuel de Poisson)[1],[3]   Soient un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité et une fonction mesurable. Nous construisons le processus en décidant pour chaque point du processus , et de manière indépendante, de la garder avec probabilité et de l'effacer avec probabilité .

Alors le processus est un processus ponctuel de Poisson de mesure d'intensité .

Proposition (Loi du processus conditionné par le nombre de points)[1],[3]   Soit un processus ponctuel de Poisson d'intensité et soit un borélien borné de . Alors conditionnellement à l'événement , les points du processus sont des réalisations indépendantes et identiquement distribuées de loi .

Simulation d'un processus ponctuel de Poisson

, fenêtre
, fenêtre

La dernière proposition fournit une méthode simple et très efficace pour simuler des processus ponctuels de Poisson.

Pour simuler un processus ponctuel de Poisson d'intensité dans un compact [1],[3] :

  • Déterminer le nombre de points. Pour ce faire on simule une loi de Poisson de moyenne .
  • Déterminer la position des points. Pour cela, on simule variables aléatoires i.i.d. de loi restreinte sur .

L'objet simulé est une réalisation du processus ponctuel de Poisson sur la fenêtre de mesure d'intensité .

Formule de Slivnyak-Mecke

La formule de Slivnyak-Mecke[4],[5], aussi connue sous le nom de formule de Campbell, est une formule très utilisée en géométrie stochastique et en physique statistique.

Théorème   Soit une fonction mesurable et un processus ponctuel de Poisson d'intensité . Alors nous avons

Le terme de droite est dans de nombreux cas calculable et permet de calculer en moyenne, grâce à la formule de Slivnyak-Mecke, la somme des contributions de chaque point du processus.

Notes et références

  1. Chiu, Sung Nok., Kendall, W. S. et Mecke, Joseph., Stochastic geometry and its applications. (ISBN 9780470664810, OCLC 843455184, lire en ligne)
  2. Matthes, Klaus, et Mecke, Joseph,, Infinitely divisible point processes, Wiley, (ISBN 9780471994602)
  3. Daley et Vere-Jones 2007
  4. Schneider, Rolf., Stochastic and integral geometry, Springer, (ISBN 9783540788591, OCLC 271648052, lire en ligne)
  5. Kallenberg, Olav., Random measures, Akademie-Verlag, (ISBN 0123949602, OCLC 16646248, lire en ligne)

Bibliographie

  • (en) Daryl J Daley et David Vere-Jones, An introduction to the theory of point processes : general theory and structure, vol. II, Springer Science and Business Media, (1re éd. 1988)

Articles connexes

  • Portail des probabilités et de la statistique
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