q-analogue

En mathématiques, plus précisément dans le domaine de la combinatoire, un q-analogue d'un théorème, d'une identité ou d'une expression est une généralisation impliquant un nouveau paramètre q et qui se spécialise en le théorème originel lorsque l'on prend la limite quand q tend vers 1. Typiquement, les mathématiciens sont intéressés par les cas où un q-analogue intervient naturellement, plutôt que par les cas où on ajoute arbitrairement un paramètre q à un théorème déjà connu. Les premiers q-analogues étudiés en détail furent les séries hypergéométriques basiques, qui furent introduites au XIXe siècle[1].

Les q-analogues trouvent des applications dans plusieurs domaines, incluant l'étude des fractales, la théorie des nombres, et des expressions de l'entropie de systèmes dynamiques chaotiques. Les q-analogues apparaissent aussi dans l'étude des groupes quantiques et des superalgèbres (en) q-déformées[réf. souhaitée].

Il y a deux groupes principaux de q-analogues : les q-analogues classiques, qui furent introduits dans le travail de Leonhard Euler et furent ensuite étendus par Frank Hilton Jackson (en)[2], et les q-analogues non classiques[3].

q-théorie classique

q-dérivée [4]

La dérivée d'une fonction de variable réelle en est la limite du taux d'accroissement quand tend vers , et on appelle traditionnellement la différence de sorte que . Mais, pour non nul, on peut aussi noter le quotient de sorte que . C'est ce dernier quotient qui est appelé la q-dérivée de en , laquelle tend bien vers quand tend vers 1, si est dérivable en . On note alors que la q-dérivée de la fonction vaut , qui tend bien vers la dérivée lorsque tend vers 1. Ceci justifie la définition suivante :

q-entiers

On définit le q-analogue de l'entier positif [3] par :

q-factorielle

On définit alors naturellement le q-analogue de la factorielle de l'entier par :

Ce q-analogue de la factorielle possède l'interprétation combinatoire suivante : alors que est le nombre de permutations d'ordre , compte ces mêmes permutations en gardant trace du nombre d'inversions. C'est-à-dire que si l'on note le nombre d'inversions de la permutation et l'ensemble des permutations d'ordre n, on a : .

La q-factorielle a aussi une écriture concise en termes de q-symboles de Pochhammer :

.

coefficients q-binomiaux

À partir de la q-factorielle, on définit les coefficients q-binomiaux ou coefficients binomiaux de Gauss [5], q-analogues des coefficients binomiaux :

, notés aussi [6].

Cela permet aussi de définir un q-analogue de l'exponentielle (en)

,

puis de définir des q-analogues des fonctions trigonométriques et hyperboliques, ainsi qu'un q-analogue de la transformée de Fourier.

q-analogues non classiques

Applications

Notes et références

(en) Cet article est partiellement ou en totalité issu de l’article de Wikipédia en anglais intitulé « q-analog » (voir la liste des auteurs).
  1. (en) Harold Exton, q-Hypergeometric Functions and Applications, E. Horwood, 1983 (ISBN 978-0-85312491-7).
  2. (en) F. H. Jackson, « On q-functions and a certain difference operator », Trans. Roy. Soc. Edin., vol. 46, 1908, p. 253-281.
  3. (en) Thomas Ernst, « A method for q-calculus », JNMP, vol. 10, no 4, , p. 487-525 (lire en ligne).
  4. (en) Victor Kac et Pokman Cheung, Quantum Calculus, Springer, (lire en ligne), chapitre 1
  5. (en) George Pólya et Gábor Szegő, Problems and Theorems in Analysis, vol. I, Springer, (1re éd. 1972) (lire en ligne), p. 11. En note en bas de cette page 11 il est écrit : « Cf. C. F. Gauss: Summatio quarundam serierum singularium, Opera, Vol. 2, especially p. 16–17. »
  6. Cf. par exemple (en) Eric W. Weisstein, « q-binomial coefficient », sur MathWorld ou (en) « Umbral calculus », dans Michiel Hazewinkel, Encyclopædia of Mathematics, Springer, (ISBN 978-1556080104, lire en ligne).

Voir aussi

Article connexe

q-dérivée (en)

Liens externes

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