Quadrupôle

En électrostatique, un quadrupôle est une distribution de charges telle que les barycentres des charges positives et des charges négatives soient confondus.

Cet article concerne le quadrupôle en électrostatique. Pour le quadrupôle (ou quadripôle) en électrocinétique, voir Quadripôle.

Analyse du quadrupôle

Soit une distribution de charges aux points . Cette distribution à support compact crée à une grande distance des charges (pour , avec longueur caractéristique de la distribution) un potentiel .

On définit :

  • la somme des charges
  • , indépendant de si , nul si est choisi barycentre des charges
  • , le moment d'inertie par rapport à
  • , l'opérateur linéaire d'inertie par rapport à
  • , l'opérateur linéaire quadrupolaire en

On peut vérifier que est de trace nulle : .

Dans le cas d'une distribution continue de charge, l'expression de la composante du tenseur quadrupolaire est

, où est le symbole de Kronecker.

Développement quadrupolaire

Théorème :

, avec

En gravimétrie, ce théorème s'appelle formule de MacCullagh.

Cas particulier : axe de symétrie

Lorsque possède une symétrie de révolution, les expressions du moment quadrupolaire se simplifient et est diagonale.

Si on suppose la symétrie autour de l'axe , alors la matrice des moments est et .

Si n'est pas nul, on choisit en , et alors :

, avec (2e polynôme de Legendre).

Ce théorème vaut en gravimétrie pour la Terre supposée de révolution. Dans ce cas, < 0 ; l'usage est de poser .

Le potentiel terrestre est ainsi .

Ce développement peut être poussé plus loin (développement en harmoniques sphériques; termes en (octupolaire), , etc.).

Articles connexes

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