Série diagonale

En mathématiques, une série diagonale est une série univariée, formelle ou convergente, obtenue à partir d'une série multivariée par extractions des coefficients diagonaux.

Définition

Soit f une série formelle en les variables  :

La diagonale de f, notée , est la série univariée définie par

Exemple

Si f est la série correspondant au développement en série de la fraction , alors est la série

K est l'intégrale elliptique complète de première espèce.

Propriétés

Propriétés différentielles

Soit f une série formelle en les variables . Le théorème de Lipshitz[1] affirme que si f est différentiellement finie (en), alors l'est aussi. En particulier, si f est une série rationnelle alors satisfait une équation différentielle linéaire à coefficients polynomiaux.

Théorèmes de Fürstenberg

En 1967, Hillel Furstenberg a démontré plusieurs résultats sur le lien entre les diagonales de fractions rationnelles et les séries algébriques[2].

Sur un corps fini, les diagonales de fractions rationnelles sont algébriques.

Soit f une fraction rationnelle en les variables à coefficients dans un corps fini, développable en série entière.

Alors la diagonale de f est une fonction algébrique.

Par exemple, si on considère la diagonale de modulo 5, on calcule que

Ainsi, les diagonales de fractions rationnelles à coefficients rationnels ont la propriété remarquable d'être algébriques quand on les réduit modulo un nombre premier (sauf peut-être pour un nombre fini d'entre eux, si la réduction de la fraction est impossible), même si elles ne sont pas algébriques sur ℚ.

Sur , les diagonales de fractions rationnelles bivariées sont exactement les séries univariées algébriques.

Références

  1. (en) L. Lipshitz, « The diagonal of a D-finite power series is D-finite », J. Algebra, vol. 113, no 2, , p. 373-378 (DOI 10.1016/0021-8693(88)90166-4).
  2. (en) Harry Furstenberg, « Algebraic functions over finite fields », J. Algebra, no 7, , p. 271-277 (DOI 10.1016/0021-8693(67)90061-0).
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