Test de condensation de Cauchy

En analyse mathématique, le test de condensation de Cauchy, démontré par Augustin Louis Cauchy[1], est un critère de convergence pour les séries : pour toute suite réelle positive décroissante (an), on a

et plus précisément[2]

.

Exemples d'applications

Pour tout réel positif α,

  • la série de Riemanna même comportement que sa « série condensée »Cette dernière est une série géométrique, qui converge si et seulement si α > 1.
    Pour α = 1, c'est la preuve par Oresme de la divergence de la série harmonique ;
  • la série de Bertrandconverge si et seulement si sa « condensée »converge, c'est-à-dire (d'après l'étude de la série de Riemann) si α > 1 ;
  • il en est de même pour la sérieetc[3].

Généralisation

On peut remplacer les puissances de 2 par celles de n'importe quel entier strictement supérieur à 1[3]. Plus généralement, Jan Cornelis Kluyver (de)[4] a montré en 1909[5] que pour toute suite réelle positive décroissante (an), les séries

sont simultanément convergentes ou divergentes, pour toutes suites d'entiers positifs (nk) et (Nk) telles que (nk) soit strictement croissante et ((nk+1nk)/Nk) et (Nk+1/Nk) soient bornées. (Schlömilch avait établi[6] le cas particulier nk = k2, Nk = k.)

Notes et références

  1. A.-L. Cauchy, Cours d'Analyse (en), 1821 — Œuvres complètes, 2e série, t. 3, 1897, chap. VI, § 2 [lire en ligne].
  2. Pour une démonstration, voir par exemple cet exercice corrigé sur Wikiversité.
  3. Émile Borel, Leçons sur les séries à termes positifs, Gauthier-Villars, (lire en ligne), p. 3-6.
  4. (en) « Jan Cornelis Kluyver », sur proofwiki.org.
  5. Thorild Dahlgren (sv), Sur le théorème de condensation de Cauchy, Lund, (lire en ligne), chap. III, p. 48-49.
  6. (de) O. Schlömilch, « Ueber die gleichzeitige Convergenz oder Divergenz zweier Reihen », Zeitschr. f. Math. u. Phys., vol. 18, no 4, , p. 425-426 (lire en ligne).
  • Portail de l’analyse
Cet article est issu de Wikipedia. Le texte est sous licence Creative Commons - Attribution - Sharealike. Des conditions supplémentaires peuvent s'appliquer aux fichiers multimédias.