Théorème de Gauss-Lucas

En mathématiques, le théorème de Gauss-Lucas, ou théorème de Lucas, établit une propriété des polynômes complexes. Il énonce que les racines du polynôme dérivé sont situées dans l'enveloppe convexe de l'ensemble des racines du polynôme d'origine[1].

Pour les articles homonymes, voir Théorème de Gauss et Théorème de Lucas.

Ce résultat est utilisé de façon implicite en 1836 par Carl Friedrich Gauss et prouvé en 1874 par Félix Lucas[2],[note 1].

Motivation

Il est facile de remarquer que si est un polynôme du second degré, le zéro de  ' est la demi-somme des zéros de .

Par ailleurs, si un polynôme de degré à coefficients réels admet zéros réels distincts , on voit en utilisant le théorème de Rolle que les zéros du polynôme dérivé sont dans l'intervalle .

Le résultat suivant peut être vu comme une généralisation de cette propriété des polynômes.

Énoncé

Soit un polynôme non constant à coefficients complexes. Alors tout zéro de  ' appartient à l'enveloppe convexe de l'ensemble des zéros de .

Preuve

Soit la décomposition de en facteurs irréductibles : le complexe est le coefficient dominant du polynôme, les complexes en sont les zéros distincts, les entiers leurs multiplicités respectives.

On a alors

En particulier,


ce qui s'écrit aussi


En prenant les conjugués, on voit que est un barycentre à coefficients positifs des .

Le cas où est aussi zéro de est évident.

Notes et références

Notes

  1. Ne pas confondre avec Édouard Lucas.

Références

  1. Pascal Boyer, Petit compagnon des nombres et de leurs applications, Calvage et Mounet, , 648 p. (ISBN 978-2-916352-75-6), III. Corps et théorie de Galois, chap. 6.5 (« Localisation des racines de P' »), p. 357.
  2. Félix Lucas, Sur une application de la Mécanique rationnelle à la théorie des équations, C.R. Hebd. Séances Acad. Sci. LXXXIX (1879), 224–226 [lire en ligne].

Voir aussi

Articles connexes

Bibliographie

(en) Paul Erdős et Ivan Niven, « On the roots of a polynomial and its derivative », Bull. Amer. Math. Soc., vol. 54, , p. 184-190 (lire en ligne)

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